Периодические движения нелинейных консервативных систем

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ. Замкнутые фазовые траектории, изображающие периодические движения или нелинейные колебания консервативных систем, образуют на фазовой плоскости целые континуумы, заполняющие конечные участки, причем одна замкнутая фазовая траектория охватывает другую, не пересекая ее (траектории как бы вложены одна в другую). Поэтому, если в консервативной системе возможно одно периодическое движение, то их может быть в ней бесконечное множество и все они могут быть получены непрерывным изменением начальных условий в пределах некоторой ограниченной области. Амплитуды и периоды нелинейных колебаний консервативных систем зависят от начальных условий (начального Лр). Период колебаний системы можно вычислить следующим образом. Из уравнения [c.481]

Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями, не один и тот же, а зависит от начальных условий, то две изображающие точки, начавшие свои движения, например от оси Оу, одновременно по двум близким траекториям, с течением времени отойдут одна от другой на конечное расстояние. Вследствие этого периодические движения консервативных систем нельзя, строго говоря, считать устойчивыми по Ляпунову. Но они обладают орбитальной устойчивостью, выражающейся л том, что при весьма малом изменении начальных условий возмущенное периодическое движение изображающей точки переходит на другую траекторию, сколь угодно близкую к первоначальной (невозмущенной). [c.482]

Полученные результаты позволяют ответить на вопрос, как будет вести себя изображающая точка, а следовательно, и исходящая система при малых отклонениях от точки равновесия. Лишь в случае линейных систем характер особой точки полностью определяет поведение системы, а именно если точка равновесия устойчива и является, например, устойчивым фокусом, то при любых сколь угодно больших отклонениях в системе всегда будут происходить затухающие колебания. Если точка равновесия неустойчива (седло или неустойчивый узел, фокус), то будет происходить неограниченное удаление от положения равновесия. Если точкой равновесия является центр, то система консервативна и в ней имеется бесчисленное множество периодических движений. На фазовой плоскости этому соответствует семейство вложенных один в другой эллипсов. Если же система нелинейна, то характер особой точки вовсе не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. [c.227]

Собственными колебаниями являются движения, совершаемые колебательной системой, которая после кратковременного внешнего возмущения предоставлена самой себе. При этом происходят периодические- переходы одного вида энергии в другой, т. е. потенциальная энергия (энергия, определяемая положением системы) переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот. Если сумма этих энергий в процессе колебаний сохраняется, то колебания будут недемпфированными (незатухающими) и система в этом случае называется консервативной. Если энергия системы уменьшается (например, из-за наличия трения), то происходят демпфированные (затухающие) колебания и система называется неконсервативной. В этой главе рассматриваются сначала недемпфированные, а затем демпфированные колебания. В пределах такого разделения отдельно рассматриваются линейные и нелинейные колебательные системы. [c.31]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Мы рассмотрели два класса систем во-первых, системы неконсервативные, но линейные, и убедились в том, что для этого класса систем периодические движения вообще невозможны во-вторых, мы рассмотрели системы консервативные (линейные и нелинейные) и убедились, что в этих системах возможны периодические движения, но что таких движений всегда возможно бесчисленное множество и амплитуда их целиком определяется начальными условиями. Между тем, как уже неоднократно указывалось, нас интересуют главным образом такие периодические движения, амплитуда которых определяется свойствами самой системы. Затем, нас в первую очередь интересуют такие системы, характер движений в которых не изменяется существенно при малых, достаточно общих изменениях самих систем консервативные системы, как только что было указано, не удовлетворяют и этому требованию. Мы увидим дальше, что лишь неконсервативные нелинейные системы являются адэкватными математическими моделями интересующих нас реальных физических систем, т. е. такими моделями, которые позволяют получать ответы на вопросы, интересующие физику колебаний. В настоящей главе мы познакомимся на примерах с двумя основными типами таких нелинейных и неконсервативных систем — с системами диссипативными и с системами автоколебательными. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...