Регулярные и сингулярные возмущения

В монографии излагаются асимптотические методы решения широкого класса задач оптимального управления, содержащих малые па-раметры. Регулярно и сингулярно возмущенные задачи исследуются с помощью единого подхода, который опирается, с одной стороны, на фундаментальный результат теории оптимальных процессов - принцип максимума Л. С. Понтрягина, а, с другой, - на асимптотические методы теории дифференциальных уравнений. [c.5]

Регулярные и сингулярные возмущения [c.17]

Учет малых факторов в расширенной модели процесса приводит, как правило, к тому, что в расширенной модели но сравнению с первоначальной появляются дополнительные члены с малыми множителями. Эти малые множители называются малыми параметрами. Члены уравнения, содержаш,ие малые параметры, называются возмущением, исходное уравнение, не содержаш,ее этих членов - невозмущенным. Указанные возмущения можно условно разделить на два класса регулярные и сингулярные. Под регулярным возмущением понимают такое возмущение, которое приводит к малому изменению решения невозмущенной задачи. В отличие от регулярных возмущений сингулярные возмущения, хотя и являются малыми в каком-то смысле, вызывают существенные изменения решения. [c.17]

Монография состоит из четырех глав. В первой главе приводятся сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории оптимальных процессов, которые непосредственно используются в дальнейшем, уточняется, что будет пониматься под асимптотическими приближениями к решениям рассматриваемых возмущенных задач, и описывается методика исследования. Во второй главе излагаются алгоритмы асимптотического решения регулярно возмущенных задач оптимального управления, а третья глава посвящена исследованию задач оптимизации сингулярно возмущенных систем. Наконец, в четвертой главе рассмотрены задачи оптимального управления, динамические системы в которых сами по себе не являются возмущенными. В этих задачах малый параметр присутствует при описании класса управляющих воздействий. [c.5]

Как видно из изложенного, для реализации описанной схемы прежде всего нужно установить структуру оптимального управления в возмущенной задаче. В случае регулярных возмущений эта структура идентифицируется базовой задачей, которая формально получается из исходной, если малый параметр устремить к нулю. Не всегда решения возмущенной и базовой задач имеют одинаковую структуру см., например, [41]). Тем не менее, решение базовой задачи содержит достаточную информацию для нахождения структуры оптимального управления в регулярно возмущенной задаче. Сложнее обстоит дело с сингулярными возмущениями. В этом случае, как будет показано, далеко не всегда представляется возможным установить структуру оптимального управления, опираясь на решение лишь одной невозмущенной задачи. [c.36]

Вблизи резонансов регулярные решения сильно возмущены и претерпевают топологические изменения. В такой ситуации классическая теория возмущений приводит к появлению малых знаменателей и расходимости рядов, как это показано в п. 2.1в. Некоторой специальной заменой переменных эта резонансная сингулярность устраняется, что делает возможным использование обычного метода усреднения. Именно такая резонансная теория возмущений, описанная в 2.4, составляет основу нашего метода изу- [c.83]

Настоящая монография посвящена построению асимптотики решения (произвольного порядка) широкого класса регулярно и сингулярно возмущенных задач оптимального управления, в которых динамические системы линейны по управлению, а на значения управляющих воздействий наложены прямые ограничения замкнутого типа. В основе применяемого подхода, суть которого изложена в п. 7.2, лежит идея специальной конечномерной параметризации оптимальных управлений. Впервые эта идея была реализована в [14] при построении асимптотических приближений к решению квазилинейной задачи терминального управления. Применяемая методика использовалась также в ряде работ, результаты которых не включены в монографию. Ссылки на эти работы сделаны в комментариях к главам. [c.7]

Отметим, что деление задач с малыми параметрами на регулярно и син17лярно возмущенные является условным, поскольку чуть ли не каждый исследователь понимает эти названия по-своему. Не вдаваясь в юнкости, назовем задачу оптимального управления регулярно возмущенной, если формирующие ее функции таковы, что их можно непрерывно доопределить при ц = О для любых возможных значений остальных аргументов. В противном случае будем считать, что задача является сингулярно возмущенной. [c.35]

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что разложение Гильберта не дает равномерно пригодных решений. Это связано с тем, что параметр е входит в уравнение Больцмана сингулярным образом (полезно сравнить с неаналитическим характером решений уравнения е дЦд1 f = О при е = 0). Мы знаем также, что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости нереалистичны и неприменимы хуже того, регулярные методы возмущений не позволяют исправить в следующих приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невязкой жидкости. Последняя трудность проявляется, в частности, при изучении (вязких) пограничных слоев и заключительной стадии эволюции в нестационарных задачах. [c.267]

В потенциале вида U х) = e x)- -Uy x) юкав-скую часть Uy x) можно рассматривать как возмущение для кулоновской части. Кулоновские сингулярности становятся кинематическими, и асимптотика регулярного решения принимает вид [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...