Аппроксимация аберраций

Эта задача называется аппроксимацией аберраций. Формула, представляющая аберрацию через коэффициенты разложения [c.124]

Аппроксимация с использованием значений поперечных аберраций. Выше мы говорили, что неправильно аппроксимировать отдельно функции поперечных аберраций, не принимая во внимание, что они пропорциональны частным производным волновой аберрации по зрачковым координатам. С другой стороны, не вполне рационально производить аппроксимацию аберраций только с использованием значений волновой аберрации, полученных расчетом хода лучей, так как при расчете луча, как мы видели, одновременно и без дополнительных затрат получаются значения и волновых и поперечных аберраций. [c.130]

Рис. 3.17. Схема расположения узлов на половине канонического зрачка при аппроксимации аберраций удачное а) и неудачное (б) расположения

С использованием такой методики для аппроксимации аберраций практически любых оптических систем в любой внеосевой точке предмета достаточно девяти лучей. Расположение узлов (лучей) по зрачку выбирается из условия получения наилучшей обусловленности матрицы А. [c.131]

В-третьих, если У выбирается из середины интервала изображений Р , то длина поперечной лучевой аберрации с учетом той же аппроксимации, что и ранее, будет [c.66]

Отметим, что зазор нельзя увеличивать выше некоторого предела из-за проникновения внешних полей в радиальном направлении. С другой стороны, если зазор очень мал по сравнению с радиусами электродов и длиной центрального электрода, то трехцилиндровая линза может анализироваться как система из двух отдельных двухцилиндровых линз. Если, кроме того, длина среднего электрода много больше его радиуса, то может быть оправдано строгое применение аналитических выражений для распределения осевого потенциала. Аналитические функции также могут применяться для аппроксимации зависимости фокусирующих свойств и аберраций от параметров линзы [234]. [c.441]

В основном мы будем рассматривать зональный монохроматический случай как более простой для изучения. Заметим, что совершенно нерационально, как это иногда делается, аппроксимировать отдельно и независимо друг от друга составляющие (р) и 60 (р) поперечных аберраций по полученным из расчета лучей значениям поперечных аберраций, а волновую аберрацию W (р) — по значениям волновой аберрации. Как ясно из гл. 2, функция волновой аберрации является основным описанием аберраций оптических систем, а поперечные аберрации выражаются через ее частные производные, поэтому задачей аппроксимации по любым данным всегда будет нахождение коэффициентов аппроксимации волновой аберрации. По найденным коэффициентам, как уже было сказано, мы легко можем найти при необходимости поперечные аберрации. [c.125]

Аппроксимация типа интерполяции. Итак, пусть нам необходимо найти п коэффициентов разложения волновой аберрации по базису от зрачковых координат (как мы говорили п 21ч-28) в общем виде, представляемом формулой (2.68). Пусть для нахождения этих коэффициентов мы хотим использовать значения волновой аберрации в т узлах Wl = W (р,), / 1,. .., т. Потребуем, чтобы аппроксимация (2.68) совпадала с данным Wi во всех узлах. Это возможно, если количество узлов т равно количеству коэффициентов аппроксимации п. Таким образом, мы приходим к системе п линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов аппроксимации [c.125]

Если длина мантиссы недостаточна, например, в ЕС ЭВМ при работе с одинарной точностью, то погрешность значений волновой аберрации, вызванная округлением, будет настолько велика, что сильно исказит результаты аппроксимации. Полученные по формуле (3.82) коэффициенты с будут иметь недопустимо большую погрешность. В таких случаях мы методом интерполяции аппроксимируем в большей степени погрешность, чем истинный ход волновой аберрации. Особенно сильно сказывается погрешность аппроксимации на определении по ее результатам не самой волновой аберрации, а ее производных — поперечных аберраций. На рис. 3.16 для примера показаны результаты аппроксимации волновой аберрации в одном сечении канонического зрачка. Сплошная кривая получена по точным значениям аберрации в узлах, крестиками обозначены данные, имеющие среднеквадратическую погрешность порядка 0,2 из-за недостаточной точности ЭВМ, пунктиром показана аппроксимация волновой аберрации, полученная интерполяцией по этим данным. Видно, что погрешность данных особенно сильно сказывается на ошибке в наклоне кривой, т. е. в поперечных аберрациях (штрих-пунктиром изображена рассмотренная ниже аппроксимация по МНК). [c.126]

Аппроксимация, полученная по найденным в соответствии с формулой (3.83) коэффициентам, уже не совпадает со значениями волновой аберрации в узлах, как это было в случае интерполяции, но наименьшим образом (в среднеквадратическом смысле) уклоняется от них, как показано на рис. 3.16. [c.127]

Матрица (Ат У А)" Ат в формуле (3.83) зависит только от выбора базиса и узлов и может быть, как и матрица А в формуле (3.82) для метода интерполяции, рассчитана заранее раз и навсегда. Тогда аппроксимация каждый раз будет сводится к умножению этой матрицы на вектор данных у значений волновой аберрации в узлах. [c.127]

Обычно достаточна двух- или трехкратная избыточность. Однако, если погрешности вычислений велики и если коэффициенты аппроксимации используются затем для вычисления значений поперечных аберраций, требуется еще большая избыточность. [c.128]

В этом случае более благоприятным является ортогональный базис в виде полиномов Цернике, описанных формулой (2.74). Конструкционная матрица получается суш ественно лучше обусловленной, чем при степенном базисе. Степень обусловленности при прочих равных условиях оказывается близка к 10, т. е. погрешность коэффициентов разложения волновой аберрации по полиномам Цернике получается гораздо меньше (в 10 —10 раз), чем по степенным полиномам, при одной и той же погрешности данных. Говорят, что аппроксимация полиномами Цернике гораздо более корректна или более устойчива, чем степенными полиномами. [c.129]

Рационально использовать эту дополнительную информацию для сокращения количества лучей, необходимого для аппроксимации при той же степени базиса. При таком подходе каждый луч дает нам в каждом узле не одно значение аппроксимируемой функции — волновой аберрации, а в общем случае косого луча — три величину самой аппроксимируемой функции — волновой аберрации и два значения ее частных производных по зрачковым координатам, полученных из поперечных аберраций. Таким образом, для нахождения п коэффициентов аппроксимации нам достаточно уже только д/3 узлов, т. е. лучей. [c.130]

Если количество данных т = 31 равно количеству коэффициентов п, то матрица А квадратная. При этом мы получаем интерполяционные коэффициенты аппроксимации по формуле (3.82) из условия равенства во всех узлах значений волновой и поперечных аберраций, полученных расчетом лучей и полученных из аппроксимации (2.68). Если т > п, то мы получаем коэффициенты по методу наименьших квадратов в соответствии с формулой [c.131]

В заключение данного параграфа заметим, что наиболее правильной и перспективной является глобальная полихроматическая аппроксимация, когда аппроксимируется функция волновой аберрации по всем четырем координатам х, и, 1, V в соответствии с формулой (2.80). При этом учитывается взаимная зависимость аберраций различных пучков и длин волн. В результате можно получить полную модель аберраций оптической системы, используя довольно ограниченное количество лучей. К сожалению, существенным недостатком такой аппроксимации, препятствующим ее распространению, является большая размерность конструкционной матрицы, что приводит к большому объему требуемой памяти ЭВМ и большому количеству вычислений. [c.132]

Описанный метод позволяет определить производные только волновых аберраций лучей. Для определения производных поперечных аберраций необходимо воспользоваться аппаратом аппроксимации, описанным в предыдущем параграфе. [c.142]

Более рациональные и экономичные методы основаны на аппарате аппроксимации, описанном в 18 гл. 3. Исходной информацией при этом являются коэффициенты аппроксимации, полученные либо по результатам расчета лучей, либо по экспериментальным данным, либо синтезированные искусственно. Применение этого способа позволяет сделать программы анализа структуры изображения независимыми от программ расчета лучей, но требует умения вычислять по коэффициентам аппроксимации значений волновых и поперечных аберраций в любой точке зрачка. [c.149]

На среднем уровне проектирования анализ состоит в определении внутренних характеристик оптической системы по известным значениям конструктивных параметров. Здесь можно выделить различные подуровни, отличающиеся степенью полноты и трудоемкостью анализ в гауссовой и зейделевой областях (определение параксиальных характеристик и аберраций третьего порядка), вычисление аберраций небольшого количества действительных лучей, определение габаритов пучков и, наконец, аппроксимация аберраций и формирование внутренней функциональной модели. Основное содержание этих уровней анализа составляет расчет хода лучей через оптическую систему, рассмотренный в гл. 3. [c.9]

Для устранения этого недостатка иногда в качестве оптимизируемых функций выбираются волновые или поперечные аберрации большого количества (до 1000) лучей в каждом пучке, равномерно распределенных по зрачку. Оценочная функция при этом становится приблизительно пропорциональной среднему квадрату волновых или поперечных аберраций по формулам (2.65) или (2.66). Такой выбор, однако, требует расчета большого количества лучей и, следовательно, не удовлетворяет требованию экономичности. Для сокращения количества лучей можно воспользоваться методом аппроксимации аберраций, рассмотренным в гл. 3. При этом оптимизируемые функции наиболее рационально связать с церниковскими глобальными полихроматическими коэффициентами разложения (2.81) волновой аберрации по ортогональному базису в соответствии со следующей формулой [c.203]

Для оптимизации были выбраны в качестве параметров значения кривизны всех поверхностей, кроме первой плоскости, граничащей с водой все осевые расстояния положение апертурной диафрагмы и положение плоскости установки (всего 24 параметра). В качестве оптимизируемых функций взяты церниковские коэффициенты аппроксимации аберраций в виде (5.11). Для аппроксимации использовалось небольшое количество лучей два луча осевого пучка, по три луча в каждом из четырех внеосевых пучков для трех длин волн. Всего вместе с характеристиками [c.255]

Физические величины никогда точно не измеряются и строгое совпадение — понятие для физики бессмысленное [353] (тем более в практических задачах технического конструирования). Поэтому предположения ad ho обычно используются в физике и технике. Хорошим результатом можно считать приближенную реализацию заданного распределения осевого потенциала с помощью реконструированной системы электродов. Это можна сделать с любой степенью точности с помощью бесконечного числа различных пространственных распределений потенциалов, в которых сингулярности отсутствуют [351, 353]. Точно тоже мы делаем в процедуре реконструкции. Пренебрегая влиянием нарушений непрерывности третьей производной сплайновой функции и образуя относительно простые эквипотенциальные повер сности без полюсов и других сингулярностей, мы по существу вводим аппроксимацию. Является ли она приемлемой На этот вопрос ответ может дать только практика. Чтобы обеспечить правильную реконструкцию электродов, необходимо всего лишь показать, что они воспроизводят описанное распределение потенциала с точностью, которая не оказывает существенного влияния на положения кардинальных элементов и коэффициенты аберрации. Вариациями функции пространственного потенциала, которые не оказывают существенного влияния на оптические свойства, можно пренебречь [353а]. [c.536]

Методы аппроксимации позволяют определить значения коэффициентов ljkn ПО результатам расчета сравнительно небольшого количества лучей. Оценочная функция (5.7), как нетрудно видеть из формулы (2.79), в этом случае представляет собой средний квадрат волновой аберрации. Несколько видоизменив выражение (5.9), можно получить оптимизируемые функции, дающие оценочную функцию в виде среднего квадрата поперечных аберраций. [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...