Свойства типичных динамических систем

Свойства типичных динамических систем [c.293]

СВОЙСТВА ТИПИЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 295 [c.295]

При переходе к бесконечномерным пространствам теряется понятие типичности в смысле теории меры, поскольку в интересующих нас бесконечномерных пространствах динамических систем не существует естественного класса мер. Топологическое понятие, однако, по-прежнему существует. Мы будем называть типичные в этом смысле диффеоморфизмы и векторные поля обитыми или диффеоморфизмами (векторными полями) общего положения и исследовать определенные свойства таких диффеоморфизмов и векторных полей в С-топологии. Подчеркнем, что С°-топология с этой точки зрения занимает совершенно особое положение. [c.294]

Наш список важных свойств типа возвращения не полон. Напрнмер, в программе Смейла классификации типичных гладких динамических систем важную роль играло понятие неблуждающего множества. Позже стало очевидным, что для общих классов динамических систем центральным является более слабое понятие цепной рекуррентности [68], [87]. [c.725]

Системы, обладающие свойствами (5.9)—(5.11), называются /i -системами (их более точное определение и анализ будут приведены в следующем параграфе). Подчеркнем, что исключительным свойством /i-систем является то, что это динамические системы (т. е. системы, описываемые обратимыми дифференциальными или разностными уравнениями движения), у которых 1 оординаты и импульсы являются случайными функциями времени (ком. 9). Практически все дальнейшее изложение будет посвящено анализу различных типов ii-систем, встречающихся в физике. Здесь же мы приведем без исследования пример /i -спстемы, движение которой описывается дискретным преобразованием (отображением). Причина, по которой мы выбрали этот пример, не только в его необычайной простоте, но и в том, что в нем используется очень часто встречающийся в математике прием, который оказывается типичным для многих физических ситуаций. [c.30]

За последние годы появился ряд работ (см., например, [55, 71, 158, 160, 162]), посвященных исследованию других динамических систем со странным аттрактором. В связи с этим возникает вопрос, в какой степени поведение такого рода систем является типичным для реальных гидродинамических систем. В частности, насколько существенно отличаются топологические свойства орбит динамических систем, имеющих одинаковое гидродинамическое происхождение, но отличающихся размерностью фазовых пространств В работе [162], например, построена восьмипараметрическая система гидродинамического типа, орбиты которой притягиваются к аттрактору Лоренца. Как было показано выше, в рассматриваемой модели такое имеет место в случае сферической симметрии. Однако в рассмотренном выше более общем случае а фа фа фа дело обстоит иначе из-за наличия нелинейного взаимодействия [ю. Ж] и благодаря тому, что, в отличие от модели Ь, ось вращения и градиент температуры элементарной конвективной ячейки могут занимать в процессе движения произвольное положение в пространстве. [c.139]

В задаче о движении тела в среде при наличии некоторой связи проводится полный нелинейный анализ динамических систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в пространстве квазискоростей [188]. Такие системы также обладают свойством (абсолютной) фуббсти. Приведен список типичных глобальных фазовых портретов на фазовом цилиндре после перестроек фазовых портретов аналогичных задач, которые исследовались в предьщущих главах книги. Интересно, что в данном случае возможно возникновение стационарных режимов, при которых угол атаки лежит в интервале (О, тс/2), т.е. данные стационарные режимы могли бы реализоваться до наступления так называемого бокового замыва. [c.38]

В этой главе собраны некоторые результаты, касаюпдаеся свойств, которыми обладает большинство динамических систем в различных естественных классах. Разумеется, прежде всего мы должны ввести естественные в том или ином смысле понятия больших и маленьких множеств в бесконечномерных пространствах. Главное утверждение в этой главе — теорема Купки — Смейла 7.2.6 — показывает, что в определенном (впрочем, довольно слабом) смысле гиперболическое поведение типично. В 7.3 мы кратко коснемся очень важного понятия бифуркации, которое вводится ддя того, чтобы попытаться понять, как нарушается типичное поведение и как различные виды типичного поведения преобразуются друг в друга. [c.293]

Трансверсальность сохраняется для большинства индивидуальных динамических систем. Однако нередко возникают существенные изменения структуры орбит, когда система изменяется, скажем, как гладкая функция одного или нескольких параметров. Отсутствие трансверсальности вызывает два вида неустойчивого поведения орбит неустойчивость внутри данной динамической системы и изменение качественной структуры орбит в результате малых возмущений системы. Второй аспект особенно важен потому, что обычно динамические системы, возникающие в приложениях, содержат параметры и очень важно понимать, как качественное поведение изменяется при изменении параметров. Таким образом, даже если для типичных значений параметров система не проявляет нетрансверсального поведения, например является структурно устойчивой или системой Купки — Смейла, могут существовать такие значения параметров, при которых происходит переход от одного вида структуры орбит к другому. Такие изменения обычно называют бифуркациями. Бифуркации существенны для понимания свойств типичных систем, потому что они показывают, как рождаются различные типы трансверсального или типичного поведения. Теория бифуркаций — отдельное направление теории динамических систем. Она исследует семейства динамических систем с конечным числом [c.304]

Как уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и обратно используется при анализе движения динамических систем. Как мы увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени порядка миллионов периодов. Наконец, аналитический вывод диффузионных уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче получить из уравнений Гамильтона. Как мы увидим ниже, отображения можно представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых систелг. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к отображению, и наоборот. [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...