Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр

ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ, ОХВАТЫВАЮЩИЕ ЦИЛИНДР 209 [c.209]

При рассмотрении замкнутых траекторий, охватывающих цилиндр, возникают некоторые отличия, поэтому мы остановимся на этом случае особо. [c.209]

Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр. Пусть Ьо — такая траектория, и пусть ц> = x(t), у = — решение системы (3), ей соответствующее. В этом решении обе функции уже не являются периодическими, как для случая замкнутой траектории на плоскости, а значит, и для замкнутой траектории, не охватывающей цилиндр, а, очевидно, удовлетворяют следующему условию при некотором т>0 ) [c.209]

Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр, очевидно, возможны и при отсутствии состояний равновесия у системы (3). [c.209]

Значениям h из интервала —1<А<+1 соответствуют замкнутые траектории, охватывающие состояние равновесия типа центра, значениям h из интервала 1 < й < с — замкнутые траектории, охватывающие цилиндр при /г = 1 сепаратрисы седла образуют петлю, охватывающую цилиндр (см. рис. 138, а). [c.263]

Прежде всего ясно, что система (7.4) не может иметь замкнутых траекторий, охватывающих цилиндр и пересекающих линию г = 0. В самом деле, предположив существование замкнутой траектории, пересекающей линию г = 0 (пересечение должно иметь место по крайней мере в двух точках рис. 330), мы придем к заключению, что она не может охватывать цилиндр, так как при [c.491]

Общие утверждения об отсутствии замкнутых траекторий, охватывающих цилиндр, для систем, обладающих центральной симметрией [c.195]

Необходимые и достаточные условия для грубости и первой степени негрубости динамической системы на цилиндре, с очевидными дополнениями (касающимися замкнутых траекторий и замкнутых контуров, охватывающих цилиндр) те же, что и на плоскости, именно [c.213]

Поэтому для замкнутого контура, охватывающего цилиндр и составленного из траекторий системы (1), имеем я [c.336]

О, г/ = 1 типа центра. Для значений С на интервале —V3 < С < О фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые, охватывающие центр, и для значений С > О — замкнутые кривые, охватывающие фазовый цилиндр. Интегральная кривая, соответствующая значению С = О, разделяет эти два типа замкнутых траекторий. Она состоит из сепаратрис седловых особых точек 0 = л/2, = О и 0 = —л/2, у = О, определяемых уравнением у = О, —л/2 0 л/2 и / = 3 os 0. Разбиение фазового цилиндра на траектории приведено на рис. 3.14, где изображена развертка цилиндра па плоскость. Траектории движения планера, соответствующие различным типам фазовых траекторий, показаны на рис. 3.15. [c.63]

Таким образом, движение изображающей точки по замкнутым фазовым траекториям, охватывающим состояние равновесия на фазовом цилиндре, соответствует полету планера по волнообразным линиям, а при движении по [c.63]

ОБ ОТСУТСТВИИ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ ИЗ ТРАЕКТОРИЙ, ОХВАТЫВАЮЩИХ ФАЗОВЫЙ ЦИЛИНДР [c.84]

Замечание 3. У системы (1.31),(1.32) не существует замкнутых кривых из траекторий, охватывающих фазовый цилиндр, если выполнены все условия предложения 2.1. [c.95]

О замкнутых траекториях различного топологического типа на фазовом цилиндре. Рассмотрим вопрос о существовании замкнутых траекторий различного топологического типа на фазовом цилиндре для систем вида (2.2). Для начала исследуем наличие траекторий, не стягиваемых по фазовому цилиндру в точку, т.е. траекторий, охватывающих фазовый цилиндр. [c.297]

Для замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, очевидно справедливы все рассмотрения, проведенные в гл. 5. [c.209]

Траектории системы при ц = 0 имеют либо вид замкнутых кривых, охватывающих состояние равновесия (типа центра) в точке ф = О, I/ = О, лпбо замкнутых кривых, сшитых из кусков эллипсов и гипербол, охватывающих пространство (цилиндр). Эти две области разделяются сепаратрисами, составленными из кусков прямых и эллипсов, идущими из седла в седло (в точках (—я, 0) (я, 0) система (1) при д, = 0 имеет простые седла). [c.382]

Особенность разбиения фазового пространства на траектории состоит в рассматриваемой задаче в том, что для значений параметров, при которых возникает сепаратриса, идущая пз седла в седло, образуются сразу два замкнутых контура, составленных из сепаратрис седла на цилиндре и отрезков оси ф контур, охватывающий состояние равновесия, и контур, охватывающий фазовый цилиндр. От контуров, составленных из сепаратрис седла, при изменении параметра появляется либо предельный цикл, охватывающий состояние равновесия, либо предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр. Поэтому функция г1)(/г), корни которой определяют структуру разбиения на траектории, может быть записана единообразно для циклов любой природы [c.458]

Однако, очевидно, мы будем различать замкнутые траектории, охватывающие цилиндр (которым на плоскости соответствуют замкнутые траектории, охватывающие границу кольца) и не охватывающие цилиндр ). Точно так же при рассмотрении замкнутых контуров, составленных из траекторий (например, из сепаратрис седел), возможеи случай, когда этот коптур охватывает цилиндр, и когда он не охватывает цилиндр. [c.209]

Это выражение обращается в нуль лин1ь на окружности у О, охватывающей фазовый цилиндр. Следовательно, в области у> О замкнутые фазовые траектории отсутствуют. Убедимся также в том, что в области у > О не может быть замкнутых траекторий, охватывающих фазовый цилиндр, В самом деле, предположим, что такая траектория [c.64]

Фазовым пространством системы (1.17) является цилиндр 5 атпой2п хЯ 0], поэтому на нем существует континуум замкнутых траекторий, охватывающих его. Замкнутых же траекторий, стягиваемых по цилиндру в точку, не существует. [c.167]

При исследовании фазового портрета динамических систем с цилиндрической фазовой поверхностью известную помощь могут оказать критерии Бендиксона и Дюлака, изложенные ранее (в 9 и 11 гл. V) для случая фазовой плоскости. Нетрудно видеть, что если условия критерия Бендиксона или критерия Дюлака выполнены, в некоторой области, заключенной между двумя замкнутыми кривыми, охватывают,ими фазовый цилиндр, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий, не охватывающих цилиндр, и не может быть более одной замкнутой фазовой траектории, охватывающей цилиндр. [c.483]

Качественное исследование системы (П.22) состоит в изучении основных элементе фазового портрета - особых точек, сепаратрис и предельных циклов. Но замкнутые фазовы траектории (в частности, предельные циклы) на фазовом цилиндре могут быть двух типов охватывающие и не охватывающие цилиндр. Для изучения замкнутых траекторий второ типа пригодны все методы и результаты, изложенные выше для систем на фазовой плоскости Отыскание предельных циклов, охватывающих цилиндр, можно проводить с помощь точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 0 = бц в себя. Если через точки некоторого отрезка образующей 0 = Оц проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. П. 9), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и можно пытаться построить функцию последования у = / у) данного точечного преобразования. (Как и в случае фазовой плоскости, вычисление функции последования наиболее просто Щ)оводигся для кусочно-линейных систем.) Неподвижные точки у, определяемые уравнением у = / у), являются точками пересечения [c.337]

При исследовании фазового портрета систем с цилиндрической фазовой поверхностью известную пользу может принести критерий Дюлака есл сформулированные в гл. 2 условия критерия Дюлака выполнены в некоторой области заключенной между двумя замкнутыми кривыми, охватывающими фазовый цилиндр, т в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий, не охватывающих цилиндра, не может быть более одной замкнутой фазовой траектории, охватывающей цилиндр. [c.337]

Зависимость между ф и ф, определяемая соотношением (1.11) с некоторым значением постоянной к, геометрически представляется кривой па фазовом цилиндре ф, ф. При всевозможных значениях Ъ, мы получаем на цилиндре семейство фазовых кривых (рис. 1.6, я), представляющее фазовый портрет всевозможных движений физического маятника. Фазовым кривым, вырождающимся в точки О и О, отвечают нижнее и соответствоппо верхнее положения равновесия маятника. Кривым, охватывающим точку О, отвечают всевозможные периодические колебательные движения маятника кривым, охватывающим цилиндр,— всевозможные периодические вращательные движения маятника. На фазовом портрете видно, как переходят друг в друга различные движения маятника при плавном изменении энергии к (параметра к). Минимальному значению энергии h=—gl/J отвечает нижнее равновесие маятника О. С ростом к возникают колебания возрастающей амплитуды (замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку О), значению к — И1 отвечают три движения— верхнее положение равновесия О и два движения 5, предельные к верхнему положению равновесия. При дальнейшем росте к возникают вращательные движения в одиу и другую сторону. [c.13]

Для изучения окрестности замкнутой кривой Ьо, охватывающей цилиндр, так же как и в случае замкнутой кривой на плоскости, построим функцию последования на каком-нибудь отрезке без контакта, проведенном через точку Ьо. В качестве отрезка без контакта всегда можно взять отрезок некоторой прямо ф = фо (фо — постоянная), содержащий точку — обозначим ее через Мо — замкнутой траектории Ьо. [c.210]

УИо - Мн, так как в этом случае за каждые пол-оборота работа движущего момента (=УИ 9) будет больше работы сил постоянного трения нагрузки (= ir). Если М1, то рассматриваемая модель будет квазиконсервативной она будет иметь континуум периодических движений с 0 (этим движениям будут соответствовать замкнутые фазовые траектории, охватывающие фазовый цилиндр в области — 0). Наконец, при М1 все движения будут затухающими, т. е. машина будет останавливаться при любых начальных условиях. Очевидна негрубость квазиконсерватив-ного случая машина пойдет в разнос или будет останавливаться [c.630]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...