Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями

В частности, ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двухсвязны. Если двухсвязная ячейка заполнена незамкнутыми траекториями, то один из ее граничных континуумов является предельным множеством при t - [c.43]

Теорема 50. Всякая ячейка, заполненная замкнутыми траекториями, дву связна. [c.304]

Доказательство. Так как внутри и вне всякой замкнутой траектории заведомо есть точки, принадлежащие особым элементам, то ячейка, заполненная замкнутыми траекториями, не менее чем двусвязна. Покажем, что она и не более чем двусвязна. Пусть Ь и Ь]) — последовательности траекторий, обладающие теми же свойствами, что и последовательности траекторий, рассмотренные в лемме 16. Пусть Ку — континуум, являющийся топологическим пределом последовательности г , и К2—- континуум, являющийся топологическим пределом последовательности Ь . В силу предыдущей леммы континуум Ку состоит из всех граничных точек ячейки g, лежащих внутри, а континуум из всех граничных точек ячейки g, лежащих вне всех траекторий этой ячейки. В силу леммы 17 других граничных точек ячейка g иметь не может. Теорема доказана. [c.304]

Доказательство. Пусть в случае а) существуют две входящие в состав континуума К - простые замкнутые кривые и 8 , из которых одна—5 , — лежит внутри другой — 8- . Так как по условию континуум лежит внутри канонической кривой С, то кривая 8 лежит внутри кривой С, а точки всякой канонической окрестности континуума К - очевидно, лежат вне кривой х- Но точки кривой 5 , лежащей внутри 5 ., не могут быть ни ю (ни соответственно а)-предельными для траекторий, лежащих вне кривой ни граничными для ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, точки которой лежат вне кривой 8 . [c.439]

Теорема 15. Всякая ячейка не более чем двусвязна. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двусвязны. [c.56]

Нетрудно видеть, что ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двухсвязны. Это непосредственно следует из теоремы VI и того факта, что внутри замкнутой траектории всегда лежит состояние равновесия. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как односвязными, так и двухсвязными. [c.425]

Это непосредственно следует из теоремы 14 и того факта, что внутри замкнутой траектории всегда лежит состояние равновесия. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как односвязными, так и двусвязными. [c.56]

Перейдем от рассмотрения одной отдельной траектории к рассмотрению всей совокупности траекторий в целом. Основываясь на примерах предыдущих глав, можно ожидать, что для знания качественной картины необходимо знать взаимное расположение не всех траекторий, а лишь некоторого конечного числа так называемых особых траекторий. В простейших случаях такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, замкнутые траектории и сепаратрисы. Исчерпываются ли этими типами все возможные типы особых траекторий, взаимное расположение которых определяет качественную структуру И какова общая характеристика таких траекторий Этим вопросам посвящен 3 настоящей главы. В нем дается точное определение особых и неособых траекторий и показывается, что особые траектории разделяют всю совокупность траекторий на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями с одинаковым поведением [17, 80, 145]. [c.396]

Для потока М.—С. на поверхности (замкнутом двумерном многообразии) фазовый портрет описывается наглядно и просто все сводится к разбиению М на ячейки, заполненные траекториями с однотипным поведением. Эти ячейки суть связные области, получающиеся по удалении из Л1 особых траекторий — периодических траекторий (включая положения равновесия) и сепаратрис седел. Ячейки, ограничивающие их линии и входящие В их границы положения равновесия могут рассматриваться как связные компоненты пересечений всевозможных (уже не только одномерных) устойчивых и неустойчивых многообразий периодических траекторий. Такое разбиение до-пускает финитное описание, уточняющее фазовую диаграмму оказывается, что это описание определяет систему с точностью до эквивалентности. [c.193]

Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями. Приведем сначала предложения, касающиеся ячеек, заполненных замкнутыми траекториями. Первое из этих предложений доказывается рассуждением, полностью аналогичным проведенному при докаэательстве предыдущей теоремы, и поэтому мы его опускаем. [c.300]

Лемма 16. Б ячейке, заполненной замкнутыми траекториями, всегда можно указать последовательность траекторий , в которой каждая последующая траектория Li содержит предааущую Li y, и пос.гедовашелъность траекторий Ц , в которой каждая последующая траектория Ь) содержится внутри предыдущей такие что-, какую бы траекторию L данной ячейки мы ни взяли, всегда существует траектория Li последовательности Ь, , внутри которой лежит эта траектория, и всегда существует траектория L] последовательности L j), вне которой она лежит. [c.301]

Теорема 51. Все особые траектории, входящие в границу ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, могут иметь сеои.ни со- и а-предельными точками только состояния равновесия. [c.304]

Нуль-предельные континуумы и их ево 1ства. Рассмотрим теперь континуум Кд, входящий в границу ячейки, заполненной замкнутыми траекториями. Такой континуум мы будем называть О-предельным (нуль-предельным). В силу теоремы 50 всякая ячейка, заполненная замкнутыми траекториями, двусвязна, так что граница ее состоит из двух 0-предель-ных континуумов. [c.417]

Рассмотрим теперь случай 2). Все точки канонической окрестиости 0-предсльиого континуума вместе с ограничивающей ее замкнутой траекторией принадлежат одной и той же ячейке. Отсюда следует, г]то если канонические окрестности континуумов КУ и ку имеют общие точки, то континуумы КУ и КУ являются граничными континуумами одной и той же ячейки ги, заполненной замкнутыми траекториями. Если континуумы ку и ку имеют общие точки, но не совпадают как точечные множества, то зто невозможно, так как граница ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, состоит пз двух различных континуумов без общих точек. Предположим теперь, что континуумы К1 и КУ совпадают как точечные множества, так что один из этих континуумов КУ является континуумом КТ, а другой ку — континуумом К . При этом [c.456]

Принимая во внимание лемму 8, нетрудно видеть, что граница ячейки, заполненной целыми траекториями, либо состоит из целых орбитнонеустойчивых траекторий, целиком лежащих в области С, либо является замкнутой траекторией (орбитно-устойчивой), образующей один из граничных континуумов области С, либо является замкнутой траекторией, состоящей из угловых и граничных дуг (см., например, рис. 180, а, б и в). [c.304]

Рассмотрим какую-нибудь кривую Л (г = 2,. . ., гг — 1) и лежащую внутри нее связную часть границы К . Еслп К состоит только из состояний равновесия, то в силу связности и конечности числа состояний равновесия К1 состоит только пз одной точкп, эта точка должна быть со- или а-пределъной хотя бы для одно1т траектории ячейки Действительно, в противном случае все траектории в некоторой ее окрестности были бы замкнуты (см. теорему 18 4 и теорему 47 16), и она, очевидно, не могла бы быть граничной для ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями. [c.305]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Существенная неконсервативность этих систем характеризуется тем, что у них не может быть областей (ячеек (см. 8, 9 гл. 2)), сплошь заполненных замкнутыми траекториями все траектории одно11 и той же ячейки стремятся нри i +о° к одному и тому же центру притяжения, а при к одному и тому же центру отталкивания. Кроме того, замкнутые траектории таких динамических систем всегда являются изолированными, т. е. предельными, циклами. Как мы уже говорили, именно предельный цикл, а не замкнутые кривые консервативной системы, является адекватным математическим образом автоколебаний. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...