Определение динамической системы на сфере

Введение. В настоящем параграфе дается определение динамической системы на сфере и устанавливаются некоторые ее основные свойства. [c.58]

Определение динамической системы на сфере. Будем дл.ч простоты предполагать, что рассматривается сфера, расположенная в трехмерном пространстве Дз [c.58]

Для решения r=f (t) динамической системы на сфере справедливы также предложения, аналогичные леммам 1—5 1. В частности, например, если r F t) — решение, определенное на интервале (а, Р), то r=F (i -f- С) такл е является решением, определенным на интервале (а — С, р — С). [c.63]

Траекторией динамической системы на сфере называется множество точек на сфере, определяемое уравнениями х = (г), у = f-, (t), z -- /3 (t) или эквивалентным векторным уравнением г = /< (i). Каждому рси енню соответствует вполне определенная траектория L. Решение, которому соответствует траектория L, будем, как и в случае динамической системы на плоскости, называть решением, соответствующи.ч данной траектории. [c.63]

В настоящей главе для определенности рассматривается динамическая система иа плоскости. Однако все введенные в пей понятия и предложения полностью справедливы и в случае динамической системы на сфере. [c.257]

Определение I. Мы скажем, что на сфере задана динамическая система класса или соответственно аналитическая), если при некотором координатном покрытии сферы класса (или аналитическом) выполняется следующее [c.59]

Система непрерывных функций х (t), у = /2 (i), z = /3 (i) или эквивалентная им непрерывная вектор-функция г — Р (f), определенная на интервале (а, Р) значений t, называется решением динамической системы D на сфере, если [c.63]

Динамическая система на сфере является частным случаем динамической системы па замкнутой ориентируемой поверхности любого данного рода /с > О ) [15]. Определение всякой такой динамической системы может быть дано полностью аналогично приведенному ниже определению динамической системы на сфере. Однако среди динамических систем на замкнутых ориентируемых поверхностях только динамические системы на поверхностях рода нуль сохраняют все существенные свойства плоских систем только у таких систем отдельные траектории и разбиение на траектории сохраняют тот же характер, что и у плоских систем. Напротив, динамические системы на замкнутых поверхностях более сложной топологической структуры — на ориентируемых поверхностях рода /с 5 1, а также па неориептируемых, обладают пе1 оторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств плоских систем. [c.58]

Принимая во внимание правила замены переметшых и соотношения вида (18), нетрудно убедиться в том, что решение динамической системы на сфере не зависит от выбора координатного покрытия сферы. Из теоремы 1 1 (о существовании и единственности решения) и самого определения решения динамической системы 1Ш сфере неиосредственио вытекает следующая теорема [c.63]

Схема динамической системы на сфере. Схема динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре. В главах VIII, X и XI ьш рассматривали динамическую систему в некоторой ограииченной плоской области. Все понятия, которые введены в этих главах, полностью относятся также и к случаю, когда рассматривается динамическая система на сфере в смысле 2. Необходимо только внести некоторые очевидные изменения. [c.497]

В случае, когда динамическая система, определенная на плоскости, рассматривается на сфере Пуанкаре, мы также можем совершенно аналогично рассматривать схему динамической системы на сфере Пуанкаре . При этом мы должны рассматривать схему экватора . Не останавливаясь подробно на этом вопросе, представляюш,емся довольно простым, отметим все же, что для написания схемы экватора нужно 1) указать, является ли зкватор предельным циклом или нет, и в случае, когда он является предельным циклом, указать, является ли он оо- или -предельным, и указать все стремящиеся к нему особые траектории 2) указать все лежащие на экваторе состояния равновесия в случае, когда экватор не является предельным циклом, и указать полные схемы всех этих состояний равновесия. [c.498]

Топологическая структура динамической системы. Мы дадлм определение топологической структуры динамической системы в открытой плоской области, совпадающе с областью определения системы или представляющей ее часть. Точно так же можно определить топологическую структуру динамической системы на любо.и подмножестве М области ее определения, в частности, в замкнутой ограниченной области С, а также на сфере. Для этого нужно только в приводимом определении слова в области С заменить соответственно словами в замкнутой области 1 или на сфере и т. д. [c.124]

Круг К с соответствующим разбиением на траектории представляет весьма удобную для рассмотрения модель динамической системы (I), определенной на плоскости (дополненной бесконечно удаленными элементами). Каждой точке М плоскости соответствует (взаимно однозначно) некоторая точка М, лежащая внутри окружности Г. Точки окружности Г, в которые отображаются точки экватора сферы, соответствуют бесконечно удаленным точкам плоскости. При этом диаметрально противоположные точки окружности Г соответствуют диаметрально противополон ным точкам экватора (рис. 135 и 137). [c.245]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Но этого еще недостаточно для того, чтобы привести доступные нам эксперименты к той схематической простоте, которая позволила бы выяснить характеристические свойства, присущие понятию о силе. Все тела обладают известным протяжением) мы видели при изучении кинематики, что даже в частном случае движения твердой системы кинематические элементы (скорости, ускорения, траектории) отдельных точек, вообще говоря, отличаются друг от друга. Поскольку мы здесь предполагаем сделать общие индуктивные выводы о характере. сил путем анализа их динамического эффекта, совершенно ясно, что указанное многообразие одновременных кинематических особенностей неизбежно должно маскировать явления и даже отвлекать наше внимание от возможного схематического изображения всего процесса в целом. Чтобы элиминировать. это многообразие усложняющих обстоятельств, целесообразно ограничиться сначала телами настолько малыми (по сравнению с размерами области, в которой происходит движение), чтобы положение тела можно было определить без значительной погрешности геометрической точкой. 13сякое тело, рассматриваемое о этой точки зрения, принято называть материальной точкой. Это название не только не противоречит нашим наглядным представлепяям о конкретных явлениях, но, как было уже указано в кинематике (II, рубр. 1), соответствует уже установившимся взглядам так, например, положение судна на море обыкновенно определяют долготой и широтой места но в действительности эти координаты определяют только одну геометрическую точку на земной поверхности, которую мы отолсествляем с нашим судном в силу его незначительных размеров по сравнению с размерами земли точно так же, чтобы привести пример, еще лучше соответствующий приведенному выше определению, мы изображаем все звезды точками на небесной сфере, хорошо зная, как велики их размеры по сравнению с телами на земле. [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...