Теоремы о якобианах

В приложении Ж к настоящей главе имеются некоторые полезные теоремы о якобианах. Это позволяет продемонстрировать их применение при выводе выражений для различных термодинамических характеристик через частные производные, вычисленные по соответствующему характеристическому уравнению состояния. Наконец, после вывода нужных термодинамических соотношений в приложении Ж описывается способ построения характеристического уравнения при известном уравнении состояния в переменных р — V — Т с использованием других данных. [c.332]

Рис. Ж-1- К доказательству третьей теоремы о якобианах (якобиан как отношение площадей).

Предположим теперь, что нам нужно получить соотношение Максвелла, в которое входит dT/dV)s, т. е. равенство (18.17). Чтобы записать его быстрее, воспользуемся равенством (Ж.12) и первыми тремя теоремами о якобианах из разд. Ж,3 [c.337]

Если бы вычислить якобиан преобразования импульсов ро, к р, Р, то он оказался бы равным также минус единице. Между тем, по теореме Лиувилля якобиан преобразования равен плюс единице. Между этими утверждениями нет противоречия, так как в теореме Лиувилля речь идет о преобразовании не только импульсов, но и координат. В применении к случаю удара упругих шаров теорема Лиувилля [c.42]

Гессиан функции L относительно переменных qi (г = 1, 2,, п) отличен от нуля (см. неравенства (45), (46) п. 147). Замечая, что он равен якобиану правых частей равенств (2), на основании теоремы о неявной функции получаем, что эти равенства разрешимы относительно переменных qi [c.284]

Из теоремы 2 о якобианах (обшая переменная) имеем [c.336]

Однако независимыми переменными у нас служат 5 и У вместо S и /7. Поэтому, воспользовавшись теоремой 5 о якобианах (замена переменных), можно написать [c.336]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

В разд. 18.6 мы установили необходимость какого-то систематического метода работы с заменой переменных, используемой при выводе более сложных выражений для термодинамических характеристик через частные производные, вычисленные по характеристическому уравнению состояния. Такое уравнение определяет трехмерную поверхность, которую можно назвать характеристической поверхностью. В принципе любую заранее выбранную термодинамическую характеристику простой системы можно представить как функцию двух других термодинамических характеристик, что даст еще одну трехмерную поверхность. Однако, как мы видели, все термодинамические характеристики взаимосвязаны, так что между площадью некоторого элементарного участка характеристической поверхности и площадью аналогичного участка другой возможной поверхности должна существовать какая-то связь. Как будет выяснено в дальнейшем, эта связь устанавливается соответствующей теоремой о якобианах, что и обусловливает целесообразность их использования. Некоторые дополнительные простые теоремы облегчат нащу задачу. [c.333]

Член Pq (w) в правой части представляет собой возмущающую функцию, которая равна нулю при оу = О, т. е. в точке нахождения малой планеты массы v при этом, однако, левая часть вырождается. Подставив в уравнение(6) Pq (w) = О, получим после поворота z = уравнение (2). Таким образом, уравнение (6) оказывается близким к уравнению интегрируемой кеплеровой задачи для малых w, даже когда величина fx = 1 — v не мала. В данном случае наиболее важным моментом вновь является применение условий периодичности (3) после замены х наоу, так как тем самым гарантируется, что якобиан относительно невозмущенного эллиптического решения л (/) не будет равен нулю. Приводить, однако, условия (3) к виду (5) бесполезно, так как в настоящих обстоятельствах нельзя рассматривать х как малый переменный параметр — теперь эта величина фиксирована и близка к единице. Несмотря на это, мы можем разрешить (3) с учетом (4) относительно Т и rjg, как и в случае уравнения (5), с помощью теоремы о неявных функциях, если воспользуемся следующим приемом. [c.98]

По аналогии с известными теоремами о замене неременных в интегралах можно ввести попятие сложной обобщенной функции. Пусть у = а(х) — регулярное необходимой степени гладкости отображение R на R , и для любой (/ (х) Е Фо также ср а (у) е/(у) Е Фо, где J (у) якобиан отображения. Тогда [c.361]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...