Разложение в ряды по бесселевым функция

Только что рассмотренные два случая являются примерами разложений, в которых коэффициенты можно получить в виде конечных выражений через бесселевы функции. Это верно только для очень ограниченного числа функций от координат в эллиптическом движении. Среди разложений, для которых в качестве коэффициентов выступают бесконечные ряды бесселевых функций, одним из важнейших является разложение / по /. [c.72]

Функция Y (t) называется бесселевой функцией второго рода (функцией Вебера), Соотношение (П.8) определяет Уд,(О при целых значениях v при произвольных вещественных v Yy(t) может быть определена с помощью разложения в ряд f3, 19]. [c.294]

Разложение в ряды по бесселевым функциям. Если коэфициенты с,, с2,..., с [c.267]

Разложение в ряды по бесселевым функциям [c.311]

Если функцию /(/ ) можно разложить в ряд (4.1), то еще необходимо показать, что (4.2) удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным и граничным условиям иными словами, этот случай полностью аналогичен случаю линейного потока тепла, изложенному в 3 гл. Ill [27]. Те же замечания применимы ко всем случаям разложения в ряд по бесселевым функциям, рассмотренным в настоящей и в следующей главах. Процесс доказательства можно провести также на основе метода преобразования Лапласа (см. приложение 1). [c.194]

Решениями дифференциального уравнения (ЮЛ) являются бесселевы функции первого рода Ji> z), которые представляются следующим разложением в ряд [c.511]

Определим приближенно кривую разветвления. В формуле (2.6.4) заменим бесселеву функцию 1 а) двумя первыми членами ее разложения в ряд по а. Тогда получим относительно а кубическое уравнение [c.92]

В случае более крупных частиц, т. е, при или / > 1, расчет факторов эффективности более труден. Для сферических частиц приходится суммировать ряды по бесселевым функциям. Чем больше 5, тем больше слагаемых в разложениях необходимо просуммировать. Теория рассеяния на шарах произвольного размера и само это рассеяние по традиции связываются с именем одного из первых создателей этой теории Г. Ми. Массовые расчеты для рассеяния Ми оказалось возможным производить только после создания быстродействующих электронных вычислительных машин. Для частиц другой формы расчеты еще сложнее. [c.27]

Эти интегралы не могут быть выражены в элементарных функциях поэтому придется прибегнуть к какому-либо способу приближенного интегрирования в частности, можно воспользоваться разложением Бесселевых функций, находящихся под знаком интеграла, в ряды по [c.136]

Нетрудно получить какое угодно число коэфициентов, j,. .. Коэфициент будет произвольным. Существует четыре комплексных корня т, удовлетюряющих уравнению (129), и, следовательно, четыре neaaBH HvHX решения, позволяющих определить краевой эффект. Известно, что, вообще, ряд в правой части равенства (128) не сходится, но, вместе с тем, он может служить для приближенного численного вычисления значений функции X. Эшм свойством ои напо.минает хорошо известные ряды для бесселевых функций, которые представляют собой частные случаи асимптотического разложения интегралов, аналогичных нормальным интегралам линейных диференциальных уравнений. [c.630]

Введенные в этой главе функции Е и), F(u) и G u) явля-ются группой сходных функций. Это — бесселевы функции порядка V2, 1 и /2, деленные на первый член разложения в ряды тех же функций. При и = 0 каждая из функций равна 1, а приближенные выражения их таковы [c.119]

Таким образом, видна характерная разница в относительном значении этих членов. Заключение Шалёна, что аг и Ь (описывающие электрическое квадрупольное и магнитное дипольное излучение) оказываются одного и того же порядка, согласуются с теми результатами, которые обычно получаются для диэлектрических шаров (а также в атомной физике). Это объясняется тем, что первые члены разложений этих коэффициентов в ряды оказываются порядка X (см. разд. 10.3). Однако эти разложения зависят от разложения бесселевых функций как с аргументами х, так и с аргументами тх. Приведенного небольшого количества членов достаточно только, скажем, при т х 0,6. Расчеты Лоуана, в которых т заключено в интервале примерно от 2 до 9, можно поэтому сравнивать с этими разложениями в ряды самое большее до х = 0,3. [c.322]

Отсутствие таблиц бесселевых функций для комплексных аргументов делает расчет ослабления поглощающими цилиндрами, равно как и поглощающими шарами, очень трудоемким. Если намечается большая работа, то стоит сделать разложение в ряды, как это сделал Шалёи для случая сферических частиц (разд. 14.21). Однако вместо этого мы хотим сейчас привести один показательный пример. Был выбран показатель преломления т = ==/2 (I—г), так как при этом разложение в ряд функции [c.370]

Важное свойство четырех функций, которые были разложены в ряды Фурье с кратными I в качестве аргументов и степенными рядами по е в качестве коэффициентов, заключается н том, что самая низкая степень е, входяп ая в коэффициент при синусе или косинусе, равна кратности I в аргументе этого члена. Степенные ряды идут далее по степеням е , так что в коэффициент при косинусе или синусе нечетного аргумента входят только нечетные степени е, а в коэффициенте члена с четным аргументом встречаются только четные степени е. Это свойство тесно связано со свойствами разложений бесселевых функций. Оно впервые было особо отмечено Даламбером. По этой причине Браун назвал его даламберовой характеристикой. [c.74]

Рассмотрим теперь пример использования бесселевых функции для преобразования аргументов от эксцентрической аномалии к средней. При разложении в ряд я /А, где 2а есть большая ось орбиты Юпитера, а Д — значение расстояния между Юпитерол и Марсом (предполагая эл.чиптическое движение для обеих планет), находим следующие члены, влшсте с соответствующими бесселевыми функциями, вычисленные со значением эксцентриситета Марса, равным 0,09326685, и необходимые для вычисления коэффициента при os (/ — /) по формулам (55), (57). Все числа выражены в единицах восьмого десятичного знака (табл. 2). В этих выражениях символы со штрихами относятся к Юпитеру, а остальные —к Марсу. Перемножая попарно числа в строке и складывая их с произведениями, стоящими справа, мы получаем для коэффициента при os(/ —Z) значение, равное +0,23531250. Те же бесселевы функции будут достаточны для вычис.чения коэффициентов [c.77]

Ряды, которые находятся в левой части этих уравнений, известны под названием рядов Фурье-Бесселя и аналогичны полностью рядам Фурье, которые были рассмотрены в гл. IV, п. 3. Единственная существенная разница между ними заключается в том, что тригонометрические функции синус и косинус последних заменены в данном случае линейными сочетаниями бесселевых функций и а.пГ). Вместе с тем с методической стороны является важным фактором то обстоятельство, что любая произвольная функция, например (г), может быть развернута в форме рядов (9), (10) и (11), допуская условия, аналогичные требуемым в случае разложения ряда Фурье и которые всегда будут удовлетворяться в интересных с физической стороны задачах. Эта форма разложения будет такова, что сумма ряда в любой точке, где g(r) непрерывно, равняется значению (г), а также среднеалгебраическому суммы правого и левого предела д(г) в любой точке разрыва непрерывности [c.523]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...