Множители системы обыкновенных

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

С математической стороны расчет оболочек сводится к решению системы уравнений в частных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами и малыми множителями при старших производных. Граничные условия (условия периодичности, конечности решения) содержат производные от искомых функций до третьего порядка включительно. В ряде случаев при помощи метода разделения переменных задачу удается свести к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений того же типа. [c.652]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Их вторые производные равны Y"-ak sin ( кхьfi), поэтому при подстановке в уравнения (5.17) общий множитель sin кх +Ji) можно вынести за скобки и сократить, причем оставшаяся система будет системой обыкновенных линейных уравнений. [c.51]

После подстановки ряда (8.4) в уравнение (8.3) и исключения коэффициентов при os 2п0 и sin2n0, автор приходит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций ij) с переменными коэффициентами. Структура этой бесконечной системы такова, что п-е уравнение представляет собой восьмичленное дифференциальное выражение, содержащее три смежные функции, и Решение бесконечной системы разыскивается методом возмущений, причем за параметр возмущения берется искусственно введенный в (8.3) параметр ё. Этот параметр введен в (8.3) как множитель перед квадратной скобкой. Если е = О, то полученная система распадается и каждая из функций определяется отдельно. Если е = 1, то система совпадает с исходной. Функция представляется в виде [c.313]

Интегрирование уравнений (30.31) весьма затруднительно. Обыкновенно закон движения несвободной материальной системы находят при помощи интегрирования уравнений других типов, с которыми мы познакомимся впоследствии. Уравнениями с множителями и в особе1шости равенствами (30.32) пользуются лишь для определения реакций связей. В самом деле, когда движение системы найдено, т. е. х , у , г,, J, , известны как функции времени, из уравнений (30.32) легко найти Бсе множители Х и и, следовательно, по формуле (30.15) можно определить реакции в функции времени. [c.300]

Дальнейшее развитие (направление эволюции, Б. К.) массы будет зависеть от того, обладают эти эллипсоиды обыкновенной устойчивостью, или нет. Если они обыкновенно устойчивы, то это значило бы, что любое небольшое возмущение возрастало со скоростью, зависящей только от величины сил трения, а это ещё пе привело бы к резкому отклонению. Примером может служить луппая орбита, которая обладает вековой неустойчивостью, но является обыкновенно устойчивой, и скорость её отклонения от настоящего расположения является незначительной из-за малости приливного трения. С другой стороны, если эллипсоиды Якоби за точкой бифуркации обыкновенно неустойчивы (фактически, как будет видно, так оно и есть), то эксиопепциальпые множители, указывающие на неустойчивость, не зависят от трения и пе обращаются в нуль вместе с ним. Соответственно они могут включать в себя динамические отклонения от формы Якоби, возникающие нри ускорении, сравнимом с любым другим ускорением системы. Исследование обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби является предметом следующей главы. [c.180]

Итак, мы пришли к выводу, что в подобных системах множители преобразования с характеризующих явление величин не могут выбираться произвольно. Ур-ие (16), представляющее закон, к-рому они подчиняются, накладывает на выбор их определенные ограничения в дей-стви гельности могут существовать только такие системы, у к-рых определенные комбинации из множителей преобразования равны единице или, что равнозначно, у к-рых все критерии подобия одинаковы. Ур-ия физики обыкновенно имеют вид диференциальных ур-ий с частньши производными. Соответственно этому условия однозначности их могут иметь вид функциональной зависимости между граничными значениями величин и. Точно так же физич. параметры системы часто задаются в форме ур-ия, связывающего их между собой. При разыскании критериев все эти ур-ия д. б. присоединены к основному явлению. Т. о. в общем случае надо под ур-ием П6) подразумевать систему общих ур-ий и ур-ий условий однозначности. [c.480]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...