Аксиомы о структуре

Помимо того интереса, который 4-я аксиома о структуре представляет с точки зрения непротиворечивости и полноты теории, она позволяет нам точно сформулировать постулаты о существовании степеней наблюдаемых и об их свойствах. [c.59]

Альтернативная формулировка 6-й аксиомы о структуре позволяет рассматривать множество, содержащее три элемента А, С и А, В, С . Из первой части постулата следует, что любые две наблюдаемые этого множества совместны. Основываясь же на второй части постулата нетрудно видоизменить доказательство теоремы 2, приспособив его к данному случаю, и доказать, что (Л, В, С = 0. [c.64]

Наконец, возвращаясь к нашей 6-й аксиоме о структуре, заметим, что, поскольку все степени одной наблюдаемой совместны, мы имеем А", В, А " =0 для всех А, и всех неотрицательных целых чисел п и т. В частности, Л ° (В ° Л ) = = (ЛоВ)о Л2. [c.65]

Доказательство. Поскольку функционал ф положителен, выполняется соотношение (ф (Л —ЯВ) ) 0. В силу дистрибутивности симметризованного произведения относительно сложения, его однородности относительно умножения любого из сомножителей на скаляр (оба свойства, как показано выше, следуют из б-й аксиомы о структуре) и линейности ф можно написать [c.74]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Сделаем попутно одно замечание. Доказанная только что теорема (как явствует из самого хода доказательства) дает основания полагать, что наши 4-я и 5-я аксиомы о структуре не являются математически независимыми от аксиом Сигала. В пользу такого мнения можно было бы привести те же рассуждения, которые мы изложили вслед за теоремой 10. [c.88]

Примечание. Данное обстоятельство (по-видимому, не слишком хорошо известное среди физиков) нельзя целиком объяснить особым характером принятых нами допущений (и, в частности, излишне жесткой формулировкой нашей 4-й аксиомы о структуре). Отказ от состояний того типа, о котором говорится в теореме II, привел бы к довольно крутому расхождению (если оценивать его с математической точки зрения) с существующим формализмом, поскольку Сигал [356] доказал это следствие в рамках предложенной им системы аксиом (в которую входит и предположение о том, что сумма квадратов наблюдаемых есть квадрат некоторой наблюдаемой — положение, остающееся в силе, как доказал Шерман [365] и как мы уже отмечали, для любой алгебры Сигала). Кроме того, с физической точки зрения состояния, о которых идет речь в теореме И (и которые не являются нормальными в том смысле, в каком это принято понимать в теории С -алгебр), по-видимому, не вызывают серьезных физических возражений. В дальнейшем мы убедимся, что некоторые ненормальные состояния действительно возникают в теории рассеяния и при переходе к термодинамическому пределу в статистической механике. [c.89]

Для полноты отметим, что наша 8-я аксиома о структуре неявно содержится в семантике Сигала. Действительно, Сигал [356] определяет набор 93 одновременно наблюдаемых" [c.89]

Доказательство. Достаточность следует из предыдущей леммы. Действительно, предположим, что такое разложение существует. Поскольку P°Q = R, множество Q) совпадает с множеством (/ , Р, Q ). Последнее же, как мы только что установили, ассоциативно. Таким образом, Р и Q — одновременно наблюдаемые и, согласно 8-й аксиоме о структуре, совместны. Необходимость следует из построения. В самом деле, предположим, что высказывания Р и Q совместны. Мы знаем (теорема 8), что множество Р, Q) ассоциативно. Следовательно, мы можем построить элементы R = P°Q, 1 = Р — Я и Ql = = Q — R, которые все принадлежат множеству (Р, Q). Из ассоциативности же последнего следует, что построенные высказывания действительно являются непересекающимися и, таким образом, удовлетворяют условию теоремы. [c.93]

Это придает еще больше правдоподобия б-й и 8-й аксиомам о структуре. [c.95]

Подчеркнем, что мы не налагали на 9i никаких явных топологических условий, помимо тех, которые уже содержатся в сформулированных выше аксиомах о структуре для 2[. Тем не менее требования 9-й аксиомы о структуре накладывают [c.97]

Обоснуйте тот факт, что видимое проявление внутренней структуры волны 1 на графике 7не является дополнением. Обратите внимание на то, что здесь не выполняется аксиома о непересечении волн 0 м , принадлежащих внутренней структуре волны 1 . [c.95]

Из всех событий реального мира теоретическая механика выделяет главным образом события, связанные с геометрическим аспектом процесса движения. Такие события состоят в том, что рассматриваемая геометрическая точка в заданный момент времени занимает конкретное положение в физическом пространстве. В этом смысле представление о мире можно предельно упростить, изображая его события точками в четырехмерном пространстве, полученном из трехмерного физического пространства добавлением измерения, отражающего ход времени. Время — особое измерение. Его отношение к геометрическим объектам зададим с помощью галилеевой пространственно-временной структуры, включающей следующие аксиомы [c.154]

Свойство инвариантности классов естественно заложить в структуру аксиом классов (7.6) так, чтобы они не реагировали на групповые преобразования объектов. В этом случае объекты, отличающиеся друг от друга преобразованиями изданной группы G, будут классифицироваться как эквивалентные. Таким образом, задача формирования инвариантных понятий заключается в том, чтобы по заданной группе преобразований О построить аксиомы классов, способные безошибочно классифицировать все объекты, отличающиеся друг от друга преобразованиями g группы G. [c.243]

Будем говорить, что поток удовлетворяет аксиоме А, если Q являегся объединением некоторого множества, удовлетворяющего (а) и (Ь), и конечного числа ие принадлежащих ему гиперболических неподвижных точек. По теореме Смейла о спектральном разложении [24], [18] гиперболическое множество является объединением конечного числа непересекающихся базисных множеств. Траекторная структура цц в большой степени определяется этими базисными множествами. На протяжения этой статьи X всегда будет обозначать базисное множество, не сводящееся к единственной замкнутой орбите. [c.109]

Множество й всех тел называется вселенной. В самом начале изложения любой ветви механики рассматриваемая вселенная четко указывается, в дальнейшем же предполагается, что заключение о данном частном виде вселенной читатель составит сам, исходя из контекста. Знак = означает тождество, то же самое, что и . Если тело является частью тела мы пишем Соотношение -< наделяет 2 структурой частично упорядоченного множества, определяемой. известными аксиомами [c.15]

Этот результат был обобщен Сигалом [356] на случай произвольной алгебры Сигала 21. Основная трудность, которую пришлось преодолеть Сигалу, состояла в том, чтобы доказать следующее свойство множества определяемого как множество всех (действительных) линейных функционалов ф на 21 (рассматриваемой алгебре Сигала), которые удовлетворяют условиям (ф Л ) О для всех Л е и (ф /) = 1 если (ф Л) = О при всех ф е , то Л = 0. Иначе говоря, необходимо было доказать по линейности, что две наблюдаемые, совпадающие на всех состояниях, тождественны. Этот результат с физической точки зрения столь естествен, что мы приняли его в качестве нашей 2-й аксиомы. Нам неоднократно пришлось пользоваться этой аксиомой, когда мы проводили феноменологическое обоснование степенной структуры на 21. Следовательно, коль скоро известно, что 21 — алгебра Сигала, наша 2-я аксиома о структуре математически становится излишней, хотя с физической точки зрения она необходима для того, чтобы мы могли [c.85]

Установим прежде всего некоторые простейшие свойства тех элементов Р алгебры 21, которые удовлетворяют соотношению Р = Р. Это позволит нам прочувствовать смысл вводимой терминологии. Ничнем с одного замечания. Из нашей 5-й аксиомы о структуре следует, что для каждого состояния ф, имеющего нулевую дисперсию на Р, справедливы соотношения [c.91]

Доказательство. Необходимость следует непосредственно из 6-й аксиомы о структуре. Интересно отметить, однако, что в действительности необходимость (в силу дистрибутивности определенного на 21 симметризованного произведения) оказывается следствием пирсовского разложения. Условие теоремы можно записать в виде Ро (Qо Л) °(Р<> Л). По предыдущей лемме его достаточно доказать для ЛеЛ (Р). Докажем его сначала для частного случая, в котором P°Q = Q, т. е. Q [c.94]

В последние годы математическая теория С -алгебр и их представлений достигла высокой степени совершенства. Математическое богатство этой теории, с одной стороны, и ее почти прямая связь с некоторыми наименее ограничивающими аксиомами о структуре множества наблюдаемых ришческой системы, с другой стороны, делает чрезвычайно перспективным исследование ее приложений к физике. Вся оставшаяся часть нашей книги в основном лить развитие ьтого положения. [c.104]

Видимо, поэтому в основных курсах гидродинамики предпочтение отдается феноменологическому выводу уравнений Навье — Стокса. Последний имеет простую логическую структуру и опирается главным образом на две аксиомы о короткодействии внутренних сил, которые, следовательно, сводятся к силам поверхностным, и о тензорном законе вязкого трения, обобщающем закон Ньютона. При этом лине11пая связь между касательными напряжениями и скоростями деформаций может рассматриваться как имеющая источник в термодинамике необратимых процессов. В такой постановке, по сути дела, отсутствует модельный элемент, за исключением того, что жидкость есть подвижная сплошная среда, в которой касательные напряжения возникают лишь при наличии скоростей деформаций, т. е. течения. [c.6]

Перечисленные понятия наряду с несколькими аксиомами и являются тем фундаментом, на базе которого построена вся "Статика". Весь раздел "Статика" можно образно представить себе в виде здания, в комнатах и этажах которого желательно хорошо ориентироваться. Это здание автор попытался схематично изобразить на плакате Зс. По этому зданию автор приглашает Вас на экскурсию. И, если Вы после изучения рассматриваемого раздела дисциплины, вернувшись к этому плакату, сможете рассказать что делается на этажах и в комнатах этого здания (для рассказа о них будут следующие плакаты и страницы текста) сумеете объяснить логику получения условий равновесия различных систем сил хорошо и надолго запомните структуру данного раздела дисциплины, то считайте, что п.пакат Зс в чем-то помог и Вам. [c.7]

Указанный вопрос тесно связан с описанием структуры реального пространства. Его анализ выходит за рамки настоящей работы. Отметим только, что есть основания предполагать, что реальное пространство имеет дискретную структуру [11]. Это означает, что и соответствующее множество точек является либо конечным, либо счетным. Кроме указанной ссылки, ограничимся лишь двумя замечаниями. Первое замечание носит почти тривиальный характер и состоит в утверждении сплошность классической вещественной прямой никакого абсолютного смысла не имеет и связана только с принятой аксиоматикой теории вещественных чисел. Достаточно отказаться от аксиомы Архимеда, и на классической прямой обнаружится множество ничем не заполненных вакансий. Например, вакансий, в которые можно поместить числа И, 1 — П и т. д. С другой стороны, классическое доказательство Кантора о наличии вакансий в счетном множестве точек, расположенных на отрезке [О, 1], [1, 2], можно использовать для построения новых кофинитных чисел, которые закрывали бы эти вакансии. [c.274]

Факторпространства также часто являются гладкими многообразиями, например единичная окружность, рассматриваемая как R/Z, тор — R" /Z" или компактные факторы гиперболической плоскости. Во всех случаях естественные карты, которые используются для определения топологической структуры на этих пространствах, гладко совместимы. И наоборот, гладкая структура на многообразии всегда поднимается до гладкой структуры на любом накрывающем пространстве. В развитии анализа на многообразиях важную роль сыграл тот факт, что (при использовании нашего предположения о наличии второй аксиомы счетности, т. е. о существо- [c.702]

Смотреть страницы где упоминается термин Аксиомы о структуре : [c.55] [c.56] [c.56] [c.58] [c.59] [c.61] [c.63] [c.67] [c.71] [c.73] [c.89] [c.90] [c.92] [c.95] [c.97] [c.97] [c.99] [c.102] [c.103] [c.11] [c.38] [c.58] [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...