Соболева пространство

Наложение ограничений на непрерывность производных приводит к подмножеству пространств, которые называют пространствами Соболева. Пространство W2 содержит все функции, у которых дополнительно квадрат первой производной интегрируем. [c.22]

Теорема 4.8. Пусть I) задано два пространства Соболева Wp Q) и причем (Й) непрерывно вложено в [c.189]

Пространство (И 2 ( 2)) — пространство С. Л. Соболева вектор-функций и = нг , компоненты которых заданы в 2, суммируемы с квадратом и имеют первые производные, суммируемые с квадратом. Для краткости обозначим это пространство буквой V. [c.42]

Пусть fVj [О, п ] — пространство Соболева, состоящее из заданных на сегменте [О, л] комплекснозначных ф-ций, к-рые имеют т — 1 абсолютно непрерывных производных и производную порядка т, суммируемую на сегменте [О, я]. Если q(x)elV [О, тс], то собств. значения [c.476]

Полученное пространство обозначается (Q), а его пополнение является — пространством Соболева Н (Й). [c.30]

В каком случае пространство Соболева является гильбертовым пространством Как при этом определено скалярное произведение [c.33]

Я =(0), где G— измеримое открытое множество в — пространство Соболева, [c.6]

Пространством Соболева №(G), к— целое неотрицательное число, называется пространство, определенное следующим образом [c.27]

Оператор А будем считать действующим в гильбертовом пространстве г( )- Он определен на пространстве Соболева 1172(7 ) и является самосопряженным. Обозначим.через Л(1) оператор А для случая плоского дна (/г(л )= 1) он имеет ту. же область определения [c.315]

Заметим, что в определение множеств допустимых полей перемещений К и вариаций перемещений не включено описание функционального пространства V, которому должны принадлежать эти поля. Дело в том, что конкретизировать пространство V можно только после задания структуры упругого потенциала W например, для полиномиальных аппроксимаций функции W пространство V будет пространством С. Л. Соболева типа — см. выше формулу (9). Очевидно также, что множества К и К , вообще говоря, не совпадают. [c.107]

Для эллиптических уравнений построена теория разрешимости в пространствах С. Л. Соболева N = 2 (см. 32 и 34) и в других функциональных пространствах [c.295]

Весьма важным и эффективным средством математического исследования краевых задач являются пространства Соболева [246]. [c.84]

Определение 9 [217, 232, 355]. Пространство Соболева (У) определяется следующим образом [c.84]

Определение 13 [72, 115, 150, 283]. Пространство Соболева т т.р определяется следующим образом [c.85]

В каждой конкретной задаче пере.чод от задачи (II.I), (II.2) к уравнению (И.З) осуществляется по-своему (см. 2.14) для исследования линейных задач достаточно использовать аппарат теории гильбертовых пространств, точнее говоря, в задачах, содержащих эллиптические операторы порядка 2т (в предыдущих разделах было т=1 и т = 2), достаточно использовать пространства С. Л. Соболева WpiO) с р = 2 и 1 = т. Напомним, что р — число, определяющее степень суммируемости в определении нормы в [c.325]

Изучение этого вопроса может быть проведено с привлечением так называемых пространств Соболева — Слободецкого [101]. [c.598]

Легко видеть, что все аксиомы нормы в данном случае выполняются. Обозначим полученное нормированное пространство W p(fi). Присоединим к нему все предельные элементы. Пополнение пространства p(Q) обозначается W p(Q) и лазывается пространством Соболева. [c.29]

Пространства Соболева. По определению, производная d f обобщенной функции f D G) для каждого мультииндекса s задается формулой [c.27]

Пусть tr — оператор следа функции на Г. (Напомннм, что след функции является расширением понятия граничного значения функции). Если иеЯ (й), то tr УеЯ 2(Г) L2(Г), где Н (Г) — пространство Соболева, плотное в пространстве /-2(Г). Оно будет гильбертовым пространством, если в нем ввести фактор-норму [c.233]

Общий случай (k m) применительно к ИУ (1.14), записанному по произвольной поверхности 5, рассмотрен в [57], где проводится исследование ошибки по h h — малое число, связанное с максимальным диаметром элементов) приближенного решения. Получены оценки ошибки (в пространствах Соболева— Слободецкого Яо(/-з) и Я практическом применении вариационно-разностного метода важно, что порядки обоих членов уравниваются при k = т I. Напомним, что аналогичный результат был сформулирован применительно к решению того же ИУ методом Крылова — Боголюбова в [56] (см. п. 2.3). [c.204]

Доказательства основаны на использовании средств двух разделов математики, сложившихся сравнительно недавно теории несамосопряженных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве и теории эллиптических дифференциальных и псевдодифферен-циальных операторов в пространствах С. Л. Соболева. Мы приведем, в основном в 31—35, необходимые определения и формулировки теорем из этих двух разделов в удобной для нас форме с краткими пояснениями и ссылками на литературу ), а затем будем применять эти теоремы к конкретным задачам и операторам. [c.294]

Л. Н. С л о б о д е ц к и й. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им, А. И. Герцена 197, 54—112 (1958). [c.416]

Здесь Н IJ2 (G), Hi 12 (G) — пространства Соболева — Слободецкого дробного порядка [144]. [c.85]

Здесь Л — псевдодифференциальный оператор с символом 11 I G — ограниченная область bR п> 2)yPQ — сужение на область G. Уравнение (5.1) однозначно разрешимо в указанных пространствах Соболева—Слободецкого [144. [c.122]

Смелягин А. И. Классификация и математическое описание пространств, в которых существуют современные механизмы Тез. докл. Второго Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике / Ин-т математики им. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 1996. - 233 с. [c.301]

Определение 15. Пространство Соболева гладкости I по прост, ранственным координатам и гладкости т по времени (V X X определяется следующим образом [c.86]

Сделаем несколько замечаний, касающихся физической интерпретации функций, принадлежащих рассмотренным выше функциональным пространствам. При классической постановке задач теории упругости все величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние, должны выражаться достаточно гладкими функциями [299, 373, 505, 571]. Функциональные пространства гладких функций имеют достаточно] простой физический смысл. Физические величины, описываемые такими функциями, непрерывны и обладают непрерывными производными до некоторого порядка. К сожалению, в большинстве встречающихся на практике случаев это требование не выполняется и корректного решения таких задач в классической постановке не существует. Для математического Исследования и разработки эффективных методов решения таких задач рассматриваются яеклассические (слабые) формулировки. В этом случае все известные и неизвестные величины предполагаются принадлежащими пространствам Соболева с индексом из множества действительных чисел. Эти функциональные пространства, в частности, содержат и гладкие функции. Такой подход к задачам динамической теории упругости впервые применялся в [354], . [c.87]

Функциональные пространства Соболева с целым положительным индексом описывают физическйе величины, которые могут иметь разрывы (скачки), а производные от них не существуют в классическом смысле. Пространства Соболева с целым отрицательньш индексом, как отмечалось выше, представляют собой пространства обобщенных функций. К этим функциональным пространствам принадлежат физические величины, которые сосредоточены в точках или на поверхностях (например, сосредоточенные силы, моменты сил и т. д.). Пространства Соболева с целым (положительным и отрицательным) индексом достаточно хорошо изучены и применяются при исследовд-нии различных физических процессов [56, 57, 166, 211, 244, 283, 850, 413 и др.]. [c.87]

Пространства Соболева с дробным индексом, в частности, описывают свойства функций принадлежащих границе области или любому другому многообразию меньшей размерности, содержащемся в области. Остановимся более подробнее на этом вопросе. При изучении краевых задач для дифференциальных уравнений с частньши производными приходится говорить о качениях функций, принадлежащих пространствам Соболева (например Н (V)), принимаемых на границе дУ. Если функция / (ж) б Н (У) непрерывна вплоть до границы, то [c.87]

Для преодоления этих трудностей вводится понятие следа функции на границе, которая позволяет корректно определить сужение функции / (х) б Н (V) на границу дУ. Для этого определяется линейный оператор, который определен на непрерывных функциях / (ж) б и ставит в соответствие каждой такой функции ее значение на границе. Как отмечалось выше, такой оператор можно корректно определить. Затем этот оператор расширяется до оператора, определенного на функциях из пространств Соболева Н (У). В работе [26] показано, что наделяя пространства непрерывных функций, определенных в области и на границе, топологиями, индуцированньши соответствующими пространствами Соболева, можно это расширение сделать линейным и непрерывным. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...