Дифференцирование скаляра по тензору

Дифференцированием тензора в декартовых координатах образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам вектора (тензора первого ранга) дает [c.530]

Дифференцирование скаляров, векторов и тензоров 29 [c.29]

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется при введении различных величин. Этот символ V имеет также специальное название — оператор набла. Во избежание недоразумений важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим символом, зависит от природы величины, к которой он применяется в этом отношении он различен в применении к скалярам, векторам и тензорам. С другой стороны, в компонентной форме эта операция допускает общую формулировку при помощи кова-риантного дифференцирования тензора и-го ранга. Кроме того, следует подчеркнуть различие между операторами V и V., которые обозначают градиент и дивергенцию соответственно. [c.35]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Повторное дифференцирование по времени t скаляра (9.20) приводит к тензорам, являющимся соответствующими производными, тензора 2. Например, [c.135]

Для сокращения записи формул по повторяющимся индексам У и А (I ], к = 1,2,3), относящимся к декартовым координатам точки г, здесь и всюду далее производится суммирование запятая обозначает дифференцирование. Параметр А является скаляром, декартовой компонентой вектора или тензора (соответствующим в случае турбулентного течения мгновенному значению полевой величины произвольного тензорного ранга). Поток J( A)J представляет собой [c.70]

Формальные правила дифференцирования суммы и произведения перено сятся на операцию дифференцирования скаляра по тензору. Например, [c.449]

Основное место уделено действиям дифференцирования скаляра и тензора по тензорному аргументу. Инвариантные определения этих операций даются формулами (2.7), (4.6) формулами (3.1), (3.2), (3.3) определяются производные инвариантов тензора и скалярной функции их. Приведены правила дифференцирования произведения тензоров (4.10) и замены аргумента (4.12). Использование и. зотропных тензоров четвертого ранга обеспечило краткость выводов и записей полученных соотношений (4.10) — (4.16). [c.507]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Распространим эти результаты на дифференцирование тензора. Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля Б , С", определенные вдоль некоторой кривой. Пусть А тп есть тензор второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке этой кривой АтпВ С дает скаляр, поэтому его производная по s есть также скаляр [c.25]

Операции дифференцирования и интегрирования в частной О, т. могут быть представлены в ковариант-ном виде. Взятие частной производной по дЮх повышает ранг тензора на единицу с появлением ковариант-ного индекса ц (простейший пример — вектор йф/ х , где ф — скаляр). [c.499]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено прису-Ш.ИМИ ему свойствами оно определяется с помош,ью набла-оператора — в символической записи й ( ) = йг-у ( ) Иначе обстоит дело с компонентами, их изменение зависит еш,е от внесенного в рассмотрение базиса. Например, пусть а—постоянный вектор, йа = 0, но а или а вовсе не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению. Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости тензора, сочетаюш,ие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного ( абсолютного ) дифференцирования. [c.472]

Двукратное дифференцирование. Набла-оператор над градиентом скаляра определяет сим.четричный тензор второго ранга [c.475]

Некоторые основные свойства термомеханически простых материалов. Для того чтобы применить изложенную выше теорию дифференцирования в нормированных пространствах к определяющим функционалам (19.4), необходимо выяснить структуру соответствующих нормированных пространств. С этой цепью временно будем использовать другие обозначения. Пусть Л t) — упорядоченная пара [у (О, 6 (ОК т. е. первый член А — это деформация, тензор второго ранга, а второй — абсолютная температура 0, скаляр. Таким образом, А является элементом рассмотренного ранее пространства Тогда Л (s) обозначает пару предысторий ( ), 0 ( )] и А (s) — ограничение А (s) на (О, оо). Уравнения (19.4) в этих обозначениях [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...