Дисперсионное соотношение связанных маятников

Дисперсионное соотношение для связанных маятников. [c.91]

Найдите систему из связанных емкостей и индуктивностей, которая была бы аналогом системы из связанных маятников рис. 2.17 в том смысле, что уравнение движения для тока в п-й индуктивности имело бы тот же вид, что уравнение движения для п-го маятника в задаче 2,26, Найдите дисперсионное соотношение, [c.99]

Чтобы проследить изменение резонансных частот и соответственно волновых чисел, можно построить график дисперсионного соотношения (которое не зависит от числа степеней свободы и граничных условий) и на графике отложить точки, соответствующие резонансам рассматриваемой системы. Дисперсионное соотношение для связанных маятников было показано на рис. 2.18. Рис. 3.5 представляет собой тот же график, на котором показаны две точки, соответствующие модам, определенным из граничных условий, для рассмотренной системы из двух маятников. [c.121]

Рис. 3.5. Дисперсионное соотношение для связанных маятников.

Рассмотрим дисперсионное соотношение для связанных маятников (уравнения (98), (103) и (106)). Положим, что а/к< 1 и а/6< 1, В этом случае [c.144]

В системе связанных маятников величине сор соответствует вклад в возвращающую силу, возникающий от силы тяжести. Дисперсионное соотношение для системы связанных маятников имеет вид (в приближении длинных волн) [c.162]

Качественное объяснение граничной частоты. Мы знаем, что для любой системы (например, для системы связанных маятников) частота первой моды свободных колебаний является также самой низкой частотой синусоидальных волн, когда система находится под действием внешней силы. Таким образом, частота первой моды является также граничной частотой вынужденных колебаний. Для частот внешнего воздействия, меньших этой частоты, волны экспоненциальны. Точно на частоте порога длина волны синусоидальных волн бесконечна (в этом случае все маятники колеблются в фазе). Таким образом, если мы хотим узнать дисперсионное соотношение для граничной частоты, нам следует положить =0. Частота, полученная из дисперсионного соотношения при й=0, и будет граничной частотой. Эту частоту будем обозначать (й,,р. В нашем примере коэффициент преломления равен [см. уравнение (78)] [c.176]

Групповая скорость за граничными частотами. Покажите, что для системы связанных маятников групповая скорость на частотах, меньших нижней граничной частоты и больших верхней граничной частоты, равна нулю. Чему равна фазовая скорость на двух этих частотах Нарисуйте график дисперсионного соотношения, т. е. график зависимости со от к. Покажите, как из этой диаграммы можно определить фазовую и групповую скорости. [c.287]

Аналогия со связанными маятниками. Соотношение (3) можно сравнить с дисперсионным соотношением для связанных маятников (в случае непрерывного приближения, см. п. 3.5) [c.486]

Для связанных маятников, когда ю меньше ш,, волны не синусоидальны. Они представляют собой экспоненциальные волны, а среда, в которой такие волны распространяются, называется реактивной. Дисперсионное соотношение принимает вид [c.487]

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами расположенных на расстояниях а С А (дисперсионная кривая — сплошная кривая на рис. 4.12 6). Мы уже говорили, что при о о —О дисперсия исчезает длина нитей маятников так велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период Т = 27г/ о среда из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в которых соотношение между а и Л может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при Шо 0. Действительно, в этом случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с Л. Таким образом, в решетке из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом — периодом решетки . С этим же связана дисперсия в решетке из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)). Что касается цепочки из связанных маятников, когда Шо ф О и расстояние а сравнимо с Л, то дисперсия определяется и временным, и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота шн, связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов. [c.73]

Пример 10. Ионосфера. Ионосфера — это пример среды (для электромагнитных волн), которая дисперсивна (т. е. прозрачна) для частот, больших некоторой граничной частоты (эта частота называется также частотой колебаний плазмы р), и реактивна (непрозрачна) для меньших частот. Дисперсионное соотношение для вынужденных колебаний в ионосфере очень похоже на дисперсионное соотношение для связанных маятников [c.136]

Проникновение волн в реактивную область. Когда ионосфера находится под воздействием радиостанции, частоты которой ниже граничной частоты, радиоволны полностью отражаются назад к Земле. Но отражение не происходит, так сказать, в одной точке, сразу. Рассмотрим аналогичную задачу для связанных маятников (у этой системы такое же дисперсионное соотношение, что и у ионосферы) в непрерывном приближении. Предположим, что на гирю первого маятника (в точке г=0) действует вынуждающая сила фх (0=Л сози . В области между г=0 и z=L находится некоторое количество связанных маятников, длина каждого из них /i, причем [c.137]

Д исперсионное соотношен ие для линейной последовательности связанных маятников. Рассмотрим частный случай (имеющий, однако, достаточно общее значение), который покажет нам, что дисперсионное соотношение имеет одну и ту же форму как для бегущих, так и для стоячих волн. Мы начали рассмотрение бегущих волн, выбрав в качестве модели непрерывную струну. Однако бегущие волны можно изучать, подобно стоячим волнам, на моделях с [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...