Лемма Аносова о замыкании

Сформулируйте и докажите аналог леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) для гиперболических отталкивающих множеств (определение 6.4.3). [c.278]

Покажите, что инвариантное множество Л в подкове из п, 2.5 в содержит совершенное подмножество, на котором наше отображение минимально. Выведите отсюда, что периодические точки, существование которых гарантирует лемма Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), могут не принадлежать гиперболическому множеству. [c.278]

Исключительно важная особенность гиперболических систем состоит в необычайно чувствительной зависимости орбиты от начальных условий. Тем самым возникает проблема извлечения осмысленной информации из приблизительного знания отрезка орбиты. Мы уже видели, что почти периодическая орбита всегда приближается периодическими (лемма Аносова о замыкании, теорема 6.4.15). Теперь посмотрим, как обстоит дело с непериодическими орбитами. [c.566]

Лемма о е-траекториях может быть доказана аналогично доказательству леммы Аносова о замыкании (упражнение 18.1.1), а именно путем перехода к локальным координатам и к последовательности отображений пространства К , близких к гиперболическим линейным отображениям. Мы же получим этот результат как частный случай более общей теоремы 18.1.3. Отметим, что нет никакой гарантии, что приближающая орбита является в каком бы то ни было смысле типичной. Если рассмотреть, например, отображение / ж1- 2ж (тос 1), то любая орбита, получен- [c.566]

Еще одно отличие от доказательства леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) состоит в том, что принцип сжатых отображений здесь применяется в бесконечномерном пространстве. [c.568]

Отсюда очевидным образом получается лемма Аносова о замыкании для потоков. [c.571]

Докажите лемму о е-траекториях (теорему 18.1.2), используя метод доказательства леммы Аносова о замыкании (теоремы 6.4.15). [c.571]

Теорема о семействах е-траекторий используется непосредственно, чтобы установить ряд свойств, показывающих, что динамика на гиперболическом множестве устойчива, имеет определенную структуру и, вообще говоря, богата. Прототипом такого результата служит следствие 6.4.19 леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15). В этом параграфе мы докажем еще два основных результата такого типа. [c.572]

Чтобы показать, что приближающая орбита может быть сделана периодической, мы будем считать, что /3 min e/2 , е, 25 /2, где число С вводится так же, как в лемме Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), и выберем соответствующее число М так же, как и прежде. Если q М + L(S) — наш период, замкнем 5 путем перехода к спецификации S = (т, Р ), где т = т и а, + д и =Р, Р (а -Ь д) = Р(а,), которая, очевидно, [c.581]

Эта теорема доказывается с помощью леммы Аносова о замыкании для потоков (следствие 18.1.8) и того факта, что неустойчивые многообразия периодических точек плотны, аналогично доказательству теоремы 18.3.9. [c.582]

Ранее мы столкнулись с несколькими аспектами взаимосвязи между изобилием замкнутых орбит и гиперболичностью. Так, лемма Аносова о замыкании (следствие 6.4.19) гарантирует плотность периодических точек в неблуждающих множествах гиперболического множества. Мы также вычислили экспоненциальную скорость роста р(/) = Ит (1/п) log P (f) чи- [c.584]

Аносов ввел класс систем, который теперь носит его имя, в [14]. Он называл этн объекты У-системами . В классической статье [310] Смейл ввел понятие гиперболического множества и развил основы теории. Он также начал использовать термин системы Аносова , который быстро стал стандартным. В [16] Аносов разработал ряд фундаментальных методов, включающих теорию устойчивых и неустойчивых расслоений и лемму о замыкании, которые также верны для общих гиперболических множеств. [c.727]

Теорема 6.4.15 (лемма Аносова о замыкании). Пусть А — гиперб лическое множество отображения / 11 М. Тогда существуют такс открытая окрестность V Э А и такие числа С, д > О, что для е < и для любой периодической -орбиты (а ,..., х ) С У найдется такс точка у и, что /" (г/) = у и (И51 / у), х ) < Се для к =0,..т I. [c.274]

Замечание. Частным случаем периодической псевдоорбиты являет такой отрезок орбиты х , /(а ),..., /" " ( )> что с1151(/(а ), х ) < е. Таю образом, лемма Аносова о замыкании означает, в частности, что вблизи Л1 бой точки гиперболического множества, орбита которой почти возврат ется к ней, существует периодическая орбита, проходящая вблизи поч-возвращающегося отрезка. [c.274]

Можно доказать аналог леммы Аносова о замыкании для потоков, используя отображения Пуанкаре одной трансверсали к псевдоорбите в другую (см. упражнение 17.4.2). Этот же результат можно получить другим способом, из теоремы об е-траекториях для потоков 18.1.7. [c.547]

Сформулируйте и докажите аналог леммы Аносова о замыканни для потоков с использованием отображений возвращения. [c.549]

Также при чтении доказательства полезно вспомнить доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), так как метод этого доказательства подобен используемому здесь. Заметим, что лемма о замыкании представляет собой другой частный случай леммы о е-траекториях, соответствующий/ =/, V = Ъ/пЪ, д(А ) = А - -1 (тос1 п). [c.567]

Мы, таким образом, получаем такую точку ж =/ >(ж) А, что d(x, / (x )) d(x, P(a )) + dif ix ), P(a )) ejl , и, следовательно, по лемме Аносова о замыкании, такую точку z е А периода д, что d f " (z), f" x )) е/2 для всех п [О, д]. Неравенство треугольника завершает доказательство. [c.581]

Доказательство. Предположим, что п, тп N таковы, что е = d f"(xg),/ (хд)) достаточно мало, и применим лемму Аносова о замыкании (теорему 6.4.15) и ее усиленный вариант—предложение 6.4.16. В результате мы найдем такие С > О, р е (О, I) и у = / " у), что d(/"+ (a ),/ (у)) Так как функция уз гёлвдерова с по- [c.611]

Рассмотрите параметризованную замкнутую кривую, касательные векторы к которой близки к образующей потока. Зафиксируйте последовательность поперечных сечений в равноудаленных друг от друга точках кривои и рассмотрите произведение соответствующих отображений Пуанкаре. Введите подходящие координаты на каждой трансверсали н продолжите отображения Пуанкаре на все евклидово пространство с сохранением гипюболичностн. Затем повторите доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6,4.15). Единственная неподвижная точка произведения отображений Пуанкаре соответствует периодической орбите потока, которая остается близкой к исходной орбите потока после небольшой репараметризации. [c.750]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...