Цикл без контакта

Циклом без контакта называется замкнутая кривая, которая НИ в одной из своих точек не соприкасается с фазовыми кривыми. [c.49]

Доказательства первых двух теорем связано с введением индекса Пуанкаре (АндрОнов и др., 1959). Доказательство последней теоремы основано на том факте, что фазовые траектории не могут пересекаться. Рис. 7 иллюстрирует это положение. Кривая, пересекающая все фазовые траектории и не касающаяся их, называется Кривой без контакта. На рис. 7 окружность R — цикл без контакта. Обнаружение предельных циклов это — основная задача в теории колебаний. Однако не существует общих аналитических методов для ее решения. Следует отметить, что если при исследовании особых точек системы обнаруживаются центры, которые нри изменении параметров превращаются в неустойчивые фокусы, то вероятность существования в этой системе предельных циклов весьма велика. [c.39]

Впервые определение грубости динамической системы на плоскости было дано при некотором дополнительном предположении относительно множества рассматриваемых динамических систем. Именно, дополнительно предполагалось, что граница области, в которой рассматривается система, является циклом без контакта для траекторий этой системы, т.е. простой гладкой замкнутой кривой, не имеющей контактов (не касающейся траекторий системы). Очевидно, тогда кривая является циклом без контакта также и для траекторий всякой системы, достаточно близкой к рассматриваемой. Хотя это [c.143]

Поле системы (65) может быть получено, если поле системы (62) повернуть на постоянный угол ф такой, что tg ф = а. Следовательно, траектории системы (65) ни в одной точке не касаются траекторий системы (62). В частности, замкнутые траектории системы (62) являются циклами без контакта для траекторий системы (65). [c.54]

Для цикла без контакта С выполняются следующие условия, аналогичные условиям (4) и (4 ) п. 1 [c.95]

Если цикл без контакта С задан неявным уравнением [c.95]

Очевидно, всякая дуга цикла без контакта является дугой без контакта. Циклы без контакта встречались нам в примерах 7 и 9 ( 1, л. 14). [c.96]

Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область, заполненную циклами без контакта. Пусть Со и — два цикла без контакта, причем Со лежит внутри Обозначим через Г кольцевую область, ограниченную циклами Со и С1 и предположим, что область Г покрыта циклами без контакта, обладающими следующими свойствами [c.96]

При этих условиях мы будем говорить, что семейство этих кривых в области Г является семейством циклов без контакта. [c.96]

Пусть семейство циклов без контакта задано уравнением [c.96]

Лемма 15. Всякая траектория, пересекающая цикл без контакта С1, при возрастании I пересечет все циклы заданного в Т семейства и выйдет из области Г через цикл С1. [c.96]

Лемма 16. Пусть С и С2 — два цикла без контакта, из которых один лежит внутри другого, например внутри С , и пусть все траектории, при I = пересекающие один цикл — С , при некотором значении [c.97]

В дальнейшем семейство циклов без контакта неоднократно рассматривается не в области, ограниченной двумя циклами без контакта, как здесь, а в двусвязной области, граница которой состоит из цикла без контакта и состояния равновесия, лежащего внутри этого цикла без контакта. Таково семейство окружностей без контакта [c.97]

Совершенно аналогичные высказывания можно сделать в случае, когда F (х, у) = О является простой замкнутой кривой С . Предположим, в частности, что кривая не является циклом без контакта, но является циклом однократного пересечения. Тогда в некоторых точках ее [c.99]

Отсюда следует, что детерминанты в числителе и знаменателе дроби (46) имеют одинаковые знаки, а так как А < О, то г < 0. Таким образом, если г есть отрицательное число, определяемое формулой (46), то кривая С является циклом без контакта. Лемма доказана. [c.102]

Следствие 2. Если область Г внутри цикла без контакта С не содержит граничных точек области С, то она содержит по крайней мере одно состояние равновесия (это утверждение устанавливается рассуждением, аналогичным проведенному в следствии 1). [c.118]

Поэтому точка на траектории Ь при возрастании 1 уже не может выйти из области, ограниченной окружностью (циклом без контакта) С, и, следовательно, траектория Ь заведомо определена для всех значений < > [c.148]

Рассмотрим теперь, что происходит с точкой на траектории Ь, когда I убывает I а о)- Так как окружность С есть цикл без контакта, то при убывании I траектория не может войти внутрь этой окружности. При этом до тех пор, пока д (1) С до, справедливо неравенство (5) [c.148]

Если х = О, то рассмотрение проводится совершенно так же, как и в предыдущем случае. Пусть ц 0. Покажем, что окружности х — -г i/ = С могут уже не быть циклом без контакта. Действительно, первым членом в разложе- [c.149]

В силу изложенного в тексте, все окружности достаточно малого радиуса на плоскостях ( , г)) и (х, у), соответственно, с центрами в О1 и О., являются циклами без контакта. [c.152]

Ряд приложений теории индекса основан па том, что индекс замкнутой кривой равен сумме индексов состояний равновесия, расположенных внутри этой кривой (теорема 27), и что индекс замкнутой траектории, а также цикла без контакта равен 1 (теоремы 28 и 29). Из этих теорем вытекают некоторые основные условия возможности совместного существования замкнутых траекторий динамической системы и состояний равновесия того или иного типа. [c.205]

Теорема 29. Индекс любого цикла без контакта динамической системы равен - - 1. [c.215]

Следствие 3. Если внутренность цикла без контакта С принадлежит области G, то сумма индексов состояний равновесия, лежащих целиком внутри С, равна -f 1. [c.216]

Следствие 4. Если внутренность цикла без контакта С принадлежит области G, то она содержит по крайней мере одно состояние равновесия системы. [c.216]

Для этого построим сначала цикл без контакта, охватывающий все состояния равновесия. В качестве цикла без контакта возьмем прямоугольник KLMN, образуемый [c.57]

Потребовав, чтобы кривая (3.15) не пересекалась с циклом без контакта KLMN, приходим к следующим условиям циклы заведомо отсутствуют в заштрихованной области плоско- сти (рис. 3.12), ограниченной прямой Хо = Хо, где Хо — корень уравнения [c.61]

Сравнивая векторнью поля систем (66) и (69), нетрудно видеть, что все замкнутые траскторгш системы (66) (рис. 23) являются циклами без контакта для траекторий системы (69). [c.56]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая, лежащая в области С, а М — какая-нибудь ее точка. Мы будем говорить так же, как и в случае простой гладкой дуги I, что кривая С в точке М имеет или не имеет контакта (с траекториями системы (1)) в соответствии с тем, касается ли кривая С в этой точке траекторни системы (I) или нет. [c.95]

Гладкая простая замкнутая кривая С называется циклом без контакта дииамическо) системы (1), если а) на кривой С не лежит пи одного состояния равновесия б) ни в одно11 свое точке кривая С не имеет контакта. Если цикл без контакта С задай параметрическим уравнением [c.95]

Предположим, что траектория Ь пересекает не все циклы без контакта, заданные в области Г. Тогда среди этих циклов можно указать циклы двух типов циклы первого типа, которые траектория Ь пересекает, и циклы второго типа, которые траектория не пересекает. Все циклы второго типа лежат внутри циклов первого типа. При этом ненременно должен существовать цикл С, являющийся либо последним циклом первого типа, либо первым циклом не первого типа, т. е. траектория /у пересекает все циклы, содержащие С внутри, но не пересекает ни одного цикла, содержащегося внутри С. Но последнего цикла первого типа существовать ие может. Действительно, у всякой траектории, пересекающей при некотором i = т какой-либо цикл без контакта С все точки, соответствующие достаточно близким к т значениям т, лежат внутри С, а значит, эта траектория заведомо пересекает при i >. т циклы без контакта, лежащие внутри С. [c.96]

Предположим, следовательно, что С является первым циклом не первого типа . Так как по самому определению цикла С траектория Ь пересекает все циклы без контакта, содержащие Со внутри, то на Ь на1 и1,угся точки, сколь угодно близкие к циклу С, и, следовательно, на С найдется [c.96]

Цикл однократного пересечения. В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения для траекторий системы (I), если а) на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия б) у всякой траектории, при = о проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответствующие достаточно близким к 0 значениям > о (< < о), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к i значениям I <С 1о ( > <о)> вне цикла С. В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках ) она имеет точки соприко- [c.97]

Дифференцирование функции в ( илу системы (I). К условиям (4 ), (30 ), (31 ), которыми определяются дуга без контакта, цикл без контакта, а также к ус.човиям, определяющим семейство циклов без контакта и семейство гладких циклов однократного пересечения, можно подойти с несколько другой по форме стороны, если ввести понятие дифференцирование в силу системы (I) . Пусть [c.98]

Если Р (х, у) С есть семейство циклов одиократиого пересечения, не обязательно являющихся циклами без контакта, то вьфажепие [c.99]

Лемма 17. Через точку Mz всегда можно провести цикл без контакта, и ликомлежащий в области Г и пересекающий все траектории, проходящие в области Г т. е. все траектории, проходящие через часть М М и, следовательно, через часть М М дуги I). [c.100]

Покажем теперь, что при произвольном к < О мо кно выбрать г < О так, что кривая С будет гладкой в точке Мп. Очевидно, она в этом случае не будет касаться траектории Ь также и в точке Мо п, следовательно, будет требуемым циклом без контакта. Для того чтобы кривая (37) была гладкой в точке М2, необходимо и достаточио, чтобы выполнялось соотношение [c.101]

С ири С < являются циклами без контакта для траекторий системы (1). При этом в случае, когда Я,1 < О и Я,2 < О или соответственно а < О, траектории пересекают каждый из этих циклов, ири возрастанни i входя внутрь него (так как правые части соотношений (3) и (13) отрицателыш). [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...