Гамильтонова система комплексная

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых величин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчисления кватернионов — своеобразной системы чисел, представляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов. Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — векторами (термин, введенный Гамильтоном и получивший широкое распространение в физике, механике и техниче ских науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление за- [c.210]

В диссипативных системах Гамильтона-Якоби [63] функция 5 комплексная [c.61]

Все решения системы с функцией Гамильтона Яо однозначны на комплексной плоскости времени /6С [c.257]

Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275]

Все решения системы с функцией Гамильтона Но однозначны на комплексной плоскости времени t С у = у°, х — х° + j y°)t. При Ф О решения возмушенных уравнений (1.5), вообше говоря, уже [c.330]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Другой способ решения задачи заключается в разыскании параметров Родрига—Гамильтона. Тогда речь будет идти об интегрировании системы четырех дифференциальных уравнений (8.11), допускающих первый интеграл (2.7). Если ввести комплексные комбинации (9.6) параметров Родрига—Гамильтона, т. е. принять за величины, определяющие положение тела, параметры Кейли—Клейна, то система (8.11) примет вид (10.5), а первый интеграл (2.7) — вид (9.4). Применение параметров Кейли—Клейна дает более простую формулировку задачи. Действительно, система (10.5) распадается на две системы линейных уравнений первого порядка совершенно одинаковой структуры. Каждая из них имеет вид [c.128]

Были сделаны многочисленные попытки (Гросман, Гамильтон) построить более сложные комплексные числа т. о., чтобы действия над ними сохраняли законы обычных арифметических операций. Это однако оказалось невозможным. Различные системы так наз. гиперкомплексных чисел построены, но действия над ними всегда в том или ином отношении отличаются от действий над обыкновенными числами. Наибольшее значение имеюг т. наз. кватернионы Гамильтона, приведшие к современной теории векторов (см. Векторное исчисление). Кватернионы—гиперком-плексные числа с 4 независимыми единицами 1, i, j, к. Общий вид кватерниона q = d га jb + кс [c.379]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...