Корень многочлена

Если одним из описанных методов определен корень многочлена X = I, то можно понизить степень многочлена путем деления его на л — и далее применить тот же метод для нахождения следующего корня. Особенно естественно эта процедура осуществляется в методе Лина. [c.88]

Если, далее, Sq есть простой корень многочлена /(s), то из общего исследования, проведенного в 6 гл, I, будет вытекать, что функция s (О, определенная уравнением (48) и начальным значением Sq, имея также нулевую производную вначале, не будет все же постоянной, и потому найдутся моменты t, а значит, и положения s, в которых в силу действительного характера движения будем иметь/(s ) > 0 поэтому и здесь, как и в случае /(sq)>0, мы заключаем, что многочлен допускает три простых корня, из которых два являются внутренними для интервала от — 1 до - -1, а третий меньше —1. [c.116]

Здесь речь идет об определении с заданным приближением закона изменения с временем этой функции а, для чего, конечно, придется обратиться к дифференциальному уравнению (48). Если 5q, которое мы предположили не равным ztl, есть двойной корень многочлена f s), то движение гироскопа сведется, как мы уже знаем (п. 32), к регулярной прецессии, и мы будем строго иметь s = Sq, т. е. о = 0. Если исключить этот случай, то s не будет тождественно обращаться в нуль для решения уравнения (48), о котором здесь идет речь продифференцировав это уравнение по и разделив результат на s, мы получим уравнение [c.125]

Ж1-координата которых равна нулю. Рассмотрим эти начальные условия. Тогда из (1.3) получим, что = О, яг = Д + Ь-Заметим, что корень (/1 — /3) многочлена Ф(г ) лежит справа от нуля, так как 1 — Ц = ж /2 > 0. Значит, область действительных движений в этом случае О, яг = Л + /а- Пусть теперь г/ 7 О, но очень мало. Тогда будет изменяться от —оо до числа, близкого к нулю (так как г = О — простой корень многочлена Ф(г ) при г/ = 0), а яг будет заключено между двумя числами, мало отличающимися от /1 = /3. Следовательно, действительное движение при малых значениях параметра г/ имеет место в областях 1 и 9. [c.203]

В случае, когда Р(а) =0 (т. с. а — корень многочлена), деление совершается без остатка [c.97]

Теорема 15.3.5. Пусть I — отрезок, I с Ш, и / I I — непрерывное отображение с периодической точкой периода р2", где р — нечетное число, р> I. Тогда > 2 " log А , где —наибольш.ий корень многочлена - 2х - 1. [c.506]

Рис. 35. Графические решения уравнений — ао = 2р,0 = 1, оо, 2)-Индексами О, I, оо к 2 обозначены кривые /(Кв)=—а 2, /(Re)=pl-/(Re) = p и /(Кв) = р2, а —корень многочлена, стоящего в знаменателе второго выражения (10).

Условие гиперболичности системы уравнений требует, чтобы все зти корни были вещественны. Легко показать, что с = О — корень многочлена F М) с кратностью три, поэтому по меньшей мере три характеристические скорости вещественны. Но если не наложить на элементы матрицы М определенных ограничений, нет никаких гарантий вещественности остальных шести корней многочлена F( М). Это затруднение, тем не менее, легко разрешить следующим образом. Предположим, что с ф О, и исключим 6vi. из уравнений (5.10.12) — (5.10.14) при помощи (5.10.15), чтобы получить систему уравнений, содержащую только 6f и oBj . Далее, исключив oBj. из этих уравнений, получим следующее матричное уравнение, содержащее только 6f [c.297]

Из курса алгебры известно, что уравнение (2.29) на множестве комплексных чисел имеет ровно п корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Труднее установить число действительных корней многочлена с действительными коэффициентами. Есть методы (например, метод Штурма), которые полностью и до конца решают этот вопрос. Однако они редко используются в вычислительной практике, так как очень громоздки и в условиях приближенных вычислений не всегда дают однозначный ответ, поэтому не будем на них останавливаться. Перечислим без доказательства некоторые результаты из алгебры, которые позволяют просто, без больших вычислений оценить число и расположение действительных корней многочлена (2.29) с действительными коэффициентами. [c.81]

Число положительных корней многочлена с учетом их кратности равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов или меньше этого количества на четное число (теорема Декарта). Применяя это правило к многочлену (2.32), устанавливаем, что в ряду его коэффициентов три перемены знака. Следовательно, он имеет три или один положительный корень (в действительности такой корень один). Применение этого же правила к многочлену (2.33) показывает, что он имеет один положительный корень, а, следовательно, исходный многочлен должен иметь один отрицательный корень. [c.83]

Последовательность коэффициентов имеет одну перемену знака, следовательно уравнение имеет один действительный положительный корень. Из физического смысла задачи ясно, что 7 . > Т . Уравнение (2.37) имеет еще один отрицательный корень и пару комплексно-сопряженных корней. Это следует из того, что если в (2.37) заменить на —в ряду коэффициентов полученного многочлена также будет одна перемена знака. [c.85]

Обозначим три корня многочлена <о г) через — а, Ь ч с. Мы покажем, что эти три корня действительны первый отрицателен и меньше —-/, а два другие заключены между =Ь/. Для этого заметим, что так как квадратный корень из (г) действителен, то функция tp z) положительна для всех значений z, удовлетворяющих задаче, и, в частности, для начального значения Zq (заключенного между /). Заметим далее, что <р(г) получает значения с чередующимися знаками для последовательных значений z z== —оо, —/, гд, - -1. [c.201]

Если, наоборот, /(5о)=0, то возможно, что Sq является двойным корнем многочлена но в таком случае, так как всегда существует третий корень вне интервала от — 1 до -J-1 (именно. [c.116]

Для того чтобы движение гироскопа имело этот прецессионный характер (или характер равномерного вращения), т. е. для того, чтобы многочлен f(s) в правой части уравнения резольвенты (48) имел двойной корень, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль дискриминант многочлена /(s), т. е. чтобы существовало некоторое соотношение между постоянными с, h, k, X, или, иначе, между величинами, характеризующими структуру тела и положение [c.121]

Далее, как мы здесь увидим, устойчивость или неустойчивость а в конце концов зависит от положения, которое занимает этот корень S многочлена в интервале (— 1, -j-1) как мы только что видели, он во всяком случае должен быть принят близким к 5 = = 1— 2X . [c.143]

Поэтому (п. 30) для многочлена /(s) в правой части этого уравнения постоянная д является двойным корнем, заключенным между —1 и этот корень необходимо лежит внутри этого [c.145]

Допустим, что действительные корни многочлена f x) содержатся в промежутке (а, А). Разбивая этот промежуток на более мелкие промежутки, можно, пользуясь теоремой Штурма, определить число корней, содержащихся в каждом из них. Если в некотором промежутке содержится более одного корня, то его можно снова разбить на более мелкие. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока каждый корень не окажется заключенным в отдельный промежуток. [c.123]

Если же многочлен Р и) будет иметь только один действительный корень е,, то график этого многочлена будет примерно представляться кривой на рис. 39. Область, расположенная справа от е,, где / (и)>0, должна исключаться из рассмотрения. Начало оси абсцисс должно располагаться тогда слева от е,. Области, расположенной между началом и е,, будет отвечать чисто расходящееся течение, для которого имеют место неравенства [c.142]

Теорема 3. Предположим, что каждая из функций Fi,..., Fk является интегралом каждой из динамических систем z = щ,..., z = щ. Тогда корень р = 1 характеристического многочлена Р рЕ имеет кратность не ниже к + I — 1. [c.223]

Перед тем как приступить к отысканию корней многочлена Р (т]), заметим, что если при ст = О этот многочлен допускает корень б, то он будет иметь также корень, равный —б. Отсюда следует, что сумма корней, лежащих на отрезке [—1,1], будет обращаться в нуль вместе с ст. Поэтому корень т = б можно искать в виде следующего ряда [c.61]

Наибольший корень этого многочлена положителен и, следовательно, совпадает с наибольшим корнем Р Х). Применение этого факта к п = р — 1 доказывает наше утверждение. [c.507]

Рассмотрим теперь некоторые приемы вычисления корней многочлена произвольной степени. Проще всего они реализуются, если все корни действительны и различны (т. е. однократны). Наличие кратных и комплексных корней как правило усложняет алгоритм, а иногда вообще делает невозможным его применение. В принципе, кратные корни многочлена могут быть выделены. Для этого достаточно отыскать наибольший общий делитель (НОД) многочлена и его производной. Действительно, если х = I есть fe-кратный корень многочлена, то это число будет одновременно (k — 1)-кратньш корнем производной от него, и НОД будет содержать множитель (х — ) . Таким образом, частное от деления многочлена на НОД будет содержать те же корни, что исходный многочлен, но все они будут уже однократными. [c.86]

Если а+йг —корень многочлена с действительными коэфициентами кратност к, то а Ы тоже корень этого многочлена и притом той же кратности [c.97]

Рассмотрим сначала конфузорное движение (Q<0). Для исследования решения (23,9—11) сделаем оправдывающееся в дальнейшем предположение, что движение симметрично относительно плоскости ф = 0 (т. е. ы(ф)=м(—ф)), причем функция (ф) везде отрицательна (скорость направлена везде к вершине угла) и монотонно меняется от значения О при ф = а/2 до значения —ио( о>0) при ф = О, так что ио есть максимум . Тогда при и = — о должно быть duld = Q, откуда заключаем, что и = —Ио есть корень кубического многочлена, стоящего под корнем в подынтегральном выражении в (23,9), так что можно написать [c.115]

Так как всякому комплексному корню многочлена с действительными коэффициентами соответствует комплексно-сопря-женный корень, многочлен нечетной степени обязательно имеет хотя бы один действительный корень. У многочлена нечетной степени действительных корней нечетное число, а у многочлена четной степени — четное (может быть нулевое). [c.81]

Сам НОД может быть найден с помощью алгоритма Эвклида, подобно тому как определяется НОД двух целых чисел. Следует только подчеркнуть, что в условиях приближенных вычислений, когда коэффициенты многочлена известны с некоторой точностью и все действия выполняются с неизбежным округлением, кратный корень может оказаться неотличимым от близких, но различных корней. [c.86]

Интеграл (18.13) так же, как и интеграл (15.8) в случае математического маятника, является эллиптическим интегралом первого рода . Вообще, так называются все интегралы, содержащие в знаменателе подынтегрального выражения квадратный корень из многочлена третьей или четвертой степени относительно переменнойинтегрирования. [c.133]

Таким образом, многочлены Р31 (< ) и Р32 (О нри О х < х имеют три различных действительных корня. При х < х < 1 один корень многочленов действительный, а два других — комплексно сопряжеппые. Зависимость корней 1, 2 и < з многочлена -Р31 (< ) от параметра х представлена на рис. 12.8. [c.308]

Этим же способом можно находить и действительные корни многочленов, для вь1числения их комплексно-сопряженных корней применяются и другие методы. На рис. П6.3 представлена программа, реализующая на Бейсике метод Барстоу [ 119]. В [ 32] приведена программа вычисления на калькуляторе корней многочлена 5-й степени, выделяющая действительный корень и вьшолняющая разложение многочлена на квадратичные множители. Объем программы — 96 шагов, время счета 13 мин. Автор указывает, что при степени многочлена выше пятой применение калькулятора становится нецелесообразным из-за значительного роста погрешности и времени счета. [c.95]

Одним из основных учебников ХУ1-ХУП вв. по статике и гидростатике считалась книга современника и великого соперника Тартальи — Д. Кардано — О тонкости (1550). Доктор медицины и практикующий врач — Кардано был профессором математики и медицины Миланского (с 1534), Павийского (с 1539) и Болонского (с 1560) университетов. Кроме названного трактата он издал в 1545 г. основательный труд по алгебре ( Великое искусство ), где привел решение уравнений третьей и четвертой степеней , указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, а также на делимость многочлена, имеющего корень а, на а — а. В 1554 г. вышла его книга О разнообразии вещей , а в 1570 — Новый труд . Сочинения Кардано, как и работы Леонардо да Винчи, были неисчерпаемым источником истинных и воображаемых фактов, естественно-научных, технических и математиче- [c.44]

Многочлены такого вида, имеющие вещественный корень кратности 3, образуют (особую) поверхность в симплектическом 4-пространстве (рис. 10). Эта поверхность (называемая раскрытпьш ластпочкиньш хвостом) является лагранжевым многообразием, то есть симплектическал структура на этой поверхности равна нулю. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...