Равномерное разложение на каустике

Равномерное разложение иа каустике [c.403]

В последнее время появилось много работ, в которых строились равномерные асимптотические разложения решений дифракционных задач. Эти разложения обладали рядом неоспоримых достоинств, однако имелись и недостатки. Например, коэффициенты равномерных разложений вблизи каустики имеют вид неопределенности о/о, что затрудняет расчет волнового поля на ЭШ. Равномерные разложения с трудом подцаются физической интерпретации. [c.3]

Геометрическая оптика, а также ее уточнение — лучевые разложения неприменимы в окрестности каустик. Погрешность приближения ГО и лучевых разложений возрастает, когда точка наблюдения стремится к каустике, а на самой каустике эти приближения обращаются в бесконечность. Поэтому лучевые разложения называются неравномерными асимптотическими разложениями. В этой главе разберем другой тип асимптотик для поля (так называемое каустическое разложение), применимый для точек наблюдения, расположенных в окрестности каустик. Погрешность этих асимптотических приближений остается ограниченной (и стремящейся к нулю при й->-оо) независимо от того, насколько близко подходим к каустике. Псгатому каустические разложения называются равномерными разложениями лучевых полей. [c.63]

Рассмотрим простейшие виды равномерных разложений. Начнем с изучения поля в окрестности гладкой ветви каустики, т. е, вдали от ее точек в031врата. Затем рассмотрим важный, с практи- [c.63]

Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка. В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970а], [1970Ь]. [c.407]

Преимущество каустических разложений обусловлено тем, что они имеют более сложную форму и содержат не только экспоненту, но и специальную функцию — функцию Эйри. Вдали от каустик, когда аргумент этой функции велик, ее можно заменить асимптотическим разложением. Если это сделать, то каустические разложения переходят в ранее рассмотренные лучевые разложения. Это соответствие между разложениями обоих типов позволяет выразить аргументы новых равномерных асимптотических разложений и входящие в них медленно меняющиеся функции через геометрооптические величины эйконалы и амплитуды лучевых полей. Тем самым равномерные асимптотические разложения, применимые около каустик, определяются по известным неравномерным разложениям (лучевым разложениям) тех же полей, ко-горые сами по себе в окрестности каустик неприменимы. [c.63]

Условия применимости полученного выше равномерного асимптотического разложения поля в окрестности каустики состоят, во-первых, в требованиях плавности и малости изменения свойств среды на расстояниях порядка длины звуковой волны, что необходимо и для применимости лучевой акустики вдали от каустики, и, во-вторых, в отсутствии других особенностей лучевой структуры в окрестности каустики, где kV t I. Так, формула (17.19) не работает в типичном для дальнего волноводного распространения звука случае сближения каустики (см. [52, 45]). Условия применимости асимптотики (17.19) рассматривались также в работе [107]. Придать им количественную форму позволяет метод эталонных интегралов. Именно, критические точки подьштегрального выражения в (17.1 ) должны быть изолированы от и а второй член асимптотического разложенияр должен быть мал по сравнению с приведенным в (17.14) и (17.19) главным членом. Соответствуюшие неравенства нетрудно выписать, используя материал 11. Так, малость второго приближения означает вьшолнение неравенств (см. (17.11 )-(17.13)) f j Ф1( 1,2)1 1Ф( 1,2)1- [c.369]

Локальная асимптотика волнового поля в окрестиости точки возвра та каустики была корректно построена и исследована в работах [156, 157], где использовался отличный от примененного нами, ио эквивалентный ему прием. Вместо разложения и <7(5) в ряды, в [157] уравнение замены переменной (17.37) дифференцировали по набору параметров от которых зависит значение интеграла (17.1), и вычисляли производные ЪХ1Ъ<Хк и д У/да/1 в точке возврата каустики. В качестве параметров можно взять коэффициенты Ог и или координаты точки наблюдения. Рассмотренные выше простая каустика и каустика с острием, где в точке могут сливаться два или три луча, представляют собой два простейших типа особенностей лучевых структур. Людвиг [442] свел к решению алгебраических уравнений построение равномерной асимптотики волнового поля в весьма общем с гучае каустик, где сливается произвольное число лучей. Полная классификация каустических поверхностей, порождаемых бесконечно-дифференцируемыми функциями >р (д), была дана теорией особенностей дифференцируемых отображений (теорией катастроф) [c.383]

Из исследований волновых полей в окрестности структурно-неустойчивых особенностей необходимо отметить равномерные асимитотические разложения при наличии фокуса [1.39] и каустики с произвольным, но неизменным порядком касания с лучами [207]. Геометрически такая каустика представляет собой гладкую поверхность. Она возникает, в частности, при падении плоской волны на слоистое полупространство, если в окрестности точки поворота 2, скорость звука удовлетворяет соотношению (z) (Zr) = О ((z 2г)°). Эталонными в зтой задаче являются функции Бесселя порядка (2 + а) (см, формулы (3.36) - (3.38)). Качественно поведение звукового поля в окрестности такой каустики подобно случаю простой каустики (он получается при а = 1), рассмотрен- [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...