Период эллиптической функции

Мы можем решить интегральное уравнение (8.13.37) путем разложения в ряды Фурье при условии, что величина интервала 2Q равна периоду эллиптических функций, т.е. [c.179]

Решение строится методом особых точек [ 10] с использованием эллиптических функций. Последние требуют для своего представления некоторую вспомогательную плоскость м, с которой связано такое понятие, как параллелограмм периодов эллиптической функции. Области D в плоскости и соответствует прямоугольник, представленный на фиг. 2,6. Точкам А и А соответствуют значения и, равные О и 1, а точкам РиЕ- значения и, равные 1/2 и (1 + ix)/2. Параметр X - вспомогательный (Imx = 0), связанный с h сложной зависимостью. Для дальнейших рассуждений положим, что h = Щх). Конкретный вид функции Щх) не важен, достаточно знать, что она монотонно возрастающая и, следовательно, между /гит есть взаимно однозначное соответствие (вопрос сводится к классической задаче об исследовании зависимости емкости плоского конденсатора от [c.96]

Так как эллиптическая функция sn т имеет период АК к), где К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода, то sn r имеет период, вдвое меньший. Поэтому и = ui для т = 2пК к) и и = U2 для т = = (2п + 1)К к) (п = 1, 2,...). Следовательно, угол в периодически колеблется между значениями 6i и 02. Период к этих колебаний вычисляется по формуле [c.333]

Этот ряд представляет собой вырожденный частный случай известного разложения эллиптических функций по последовательным производным С-функции Вейерштрасса (см., например, [43]), так как при конечном чисто мнимом периоде и бесконечном втором периоде функция С переходит в гиперболический котангенс. [c.36]

Точное значение критической мощности получается при решении уравнений (7.1.28) и (7.1.29). В случае непрерывного излучения производные по времени можно положить равными нулю. Если для простоты пренебречь потерями в световоде, эти уравнения можно решить аналитически в виде эллиптических функций Якоби. Период [c.186]

Покрытие плоскости сеткой прямоугольников, одинаковых с данным, введет очевидно эллиптические функции периодов 2(0j, g jiH возьмем функции j(0 (Oj, (Dgl), t , и, одновременно, функции з, С, f, построенные на периодах [c.110]

Поскольку поток вокруг двух окружностей зависит от свойств эллиптических функций с двойным периодом, здесь не рассматриваемых, читатель, интересующийся конформным отображением в таких потоках, должен обратиться к другим источникам. [c.181]

Из (2.46), (2.47) следует, что в вариантах R1- 1, R2- 2, R3- 1, R4- 2 модуль эллиптических интегралов к = 0. Можно показать, что в этом случае выражения (2.46), (2.47), будучи подставленными в (2.42) и (2.43), после ряда преобразований приводят к одной и той же форме общего решения, в которой эллиптические функции заменены обычными тригонометрическими. Варианты R3- 0, R4- 0, которые могут иметь место только при выполнении необходимых условий (2.36), (2.37), соответствуют движению по сепаратрисе. При этом согласно (2.46) и (2.47) модуль к = , откуда следует, что частота колебаний угла атаки Ша = О, а период является бесконечно большой величиной. Это объясняется асимптотическим замедлением движения вблизи седловой особой точки. [c.81]

В теореме 4 п. 10 мы продолжим теорему 3 утверждением, что положение критических точек в прямоугольнике К не является произвольным. Однако сначала в п. 5—9 мы применим теорему 3 к некоторым частным случаям течений с у = 1 и 2г р = 1, критические точки которых располагаются в прямоугольнике К симметрично. В таких случаях = /( ) является эллиптической функцией, т. е. двоякопериодической мероморфной функцией. Действительно, этими периодами являются, очевидно, 4/С (или 8/<) и 21К. В более общем случае очевиден следующий результат. [c.135]

В самом деле, в этом случае функция ( ) является двоякопериодической с периодами 4зК и 21К. Поскольку любая эллиптическая функция с периодами 4/С и 21К может быть представлена кяк рациональная функция / от зп = 7 [c.135]

По теореме 5, функции е 1,а-,к) являются единственными такими функциями. Согласно формулам (5.38а) и (5.126), они являются эллиптическими функциями тогда и только тогда, когда 1т а) К = р/2тг есть рациональная дробь р д. В этом случае периодами являются 21К, 2 /(, если знаменатель д четный, и 21К, АдК, если он нечетный. [c.156]

Абелевы функции одного комплексного переменного — это в точности эллиптические функции. Согласно теореме Вейерштрасса — Пуанкаре, между любыми т + 1 абелевыми функциями с одинаковыми периодами всегда существует алгебраическое соотношение. [c.112]

Эллиптические функции являются мероморфными функциями с двумя различными периодами. В нашем случае второй период будет мнимым. [c.459]

Покрытие плоскости сеткой прямоугольников, одинаковых с данным, введет очевидно эллиптические функции периодов 2со 2з 1[ы возьмем функции о(г а)1, (Од ), р и, одновременно, функции о, С, построенные на периодах [c.110]

Преобразование (1.19) переводит параллелограмм периодов в новый параллелограмм периодов, полученный из старого путем параллельного переноса на величину Р. Таким образом, всю плоскость 2 можно покрыть указанными параллелограммами и в каждом из них эллиптическая функция будет принимать одни и те же значения в конгруэнтных точках. [c.15]

Любая рациональная комбинация эллиптических функций, с периодами (01 и щ, а также производная от эллиптической функции являются эллиптическими функциями. [c.15]

Су.мма вычетов эллиптической функции /(2) относительно всех ее полюсов, принадлежащих параллелограмму периодов, равна нулю. [c.15]

Не существует эллиптической функции первого порядка, т. е. не существует эллиптической функции, имеющей в параллелограмме периодов один полюс первого порядка. Это утверждение следует из предыдущего. [c.16]

Действительный период эллиптических функций sn х и сп ж равен 2К [7, 8], следовательно, функция osq периодична по с периодом 2тг. [c.32]

Чтобы удовлетворить краевому условию рг(0) = О, следует положить Zoll равным половине периода эллиптической функции Якоби sn. [c.314]

Так как эллиптическая функция sn т имеет период iK(k), где ЙГ(/г)—полный уллинтический интеграл первого рода, то sn T имеет период, вдвое мепьший. Поэтому и = ui для т = 2пК к) и а = U2 для т =(2п + i)K(k) (п = О, 1, 2,. ..). Следовательно, угол 0 периодически колеблется между значениями 0i и 02. Период и этих колебаний вычисляется по формуле [c.282]

Легко видеть, что Xoiz) — четная эллиптическая функция, имеющая в параллелограмме периодов два простых нуля в точках Ai и А2. Для предельных значений Xoiz) па контуре L справедливо равенство [c.184]

Мероморфная функция, имеющая два периода Ш , u)2, направления которых не совпадают, называется эллиптической функцией. Параллелограм, г построенный на векторах [c.189]

Отметим егце одну работу по теории идеальной жидкости С.А. Чаплыгина и В.В. Голубева О продувке цилиндров двигателей внутреннего сгорания (Труды ЦАГИ. 1932). В этой работе рассматривается ряд схем протекания потока несжимаемой жидкости через цилиндр при различном расположении клапанов. Нри этом задача упрогцается заменою круглого цилиндра плоскопараллельным течением. Эта работа представляет своеобразный интерес с точки зрения метода исследования. Прямоугольник, нредставляюгций сечение цилиндра, естественно, приводит к применению эллиптических функций, в которых и регаается вся задача. Здесь эллиптические функции входят как двоякопериодические функции с некоторым прямоугольником периодов, между тем как в других задачах механики эллиптические функции входят обычно только при посредстве интегралов, и их свойства периодичности в исследовании механических условий не играют никакой роли. Аналогичное замечание, впрочем, относится и к применению эллиптических функций для исследования бипланов. [c.177]

Комплексная скорость имеет простой полюс в точке / = О, равна по модулю единице на горизонтальных сторонах прямоугольника К и является чисто мнимой величиной на его вертикальных сторонах. Согласно теореме 3, ЦО определяется единственным образом (с точностью до знака) как эллиптическая функция с периодами 4К и 21К, обладающая этими свойствами. Все необходимые свойства имеет функция i Yksnt [c.158]

Хорошо известно, что между любыми двумя эллиптическими функциями /i и /2 с одинаковыми периодами существует соотношение видаФ(/1,/2) = О, где Ф — некоторый многочлен от двух переменных. Например, функция Вейерштрасса р и ее производная р (имеющая, очевидно, те же периоды) связаны алгебраическим уравнением (р У - 4р + д2р + = О, где д2,дз — инварианты р-функции. Более общо, любые m 2 эллиптических функций с одинаковыми периодами связаны m — 1 алгебраическим соотношением. Примером служат уравнения (9.2) для эллиптических функций (9.3). [c.111]

Отметим, что при n = 2 и n = 3 общее решение системы (9.21) ыражается через эллиптические функции времени, причем в первом случае в параллелограмме периодов у функции x t) имеется единственный полюс второго порядка, а во втором — два полюса первого порядка, в которых вычеты отличаются знаками. Поэтому ввиду периодичности при п = 2 имеется лишь одно семейство мероморфных решений, а при г = 3 таких семейств ровно два. [c.119]

Решение уравнения (29.1) выражается в терминах эллиптических функций. В случае Н х, р) = Е, Е < Зоод/2е, х 1)—периодическая функция с периодом Т [c.314]

Продифференцируем эту формулу по Н. Тут же получаем, что Ai убывает по Н, следовательно, [3 возрастает в интервалах Н и Е. Для непрямой дуги тоже рассуждение дает убывание Ai (здесь мы выбираем направление обхода, при котором это число будет положительным) в интервалах Е и Н . Теперь вернемся к прямой дуге в интервале Е". Чтобы получить возрастание Ai, достаточно констатировать, что Ai прямое = Т — Ai непрямое, где Т — это период эллиптического движения, что Т — возрастающс1я функция, а Ai непрямое — функция убывающая. Для непрямой дуги доказательство заканчивается аналогично. [c.53]

Если время отсчитывается от момента прохождения маятником его нижнего положения, то движение определяется формулой = sn(l g//i). Два периода этой эллиптической функции равны IK и 2К 1 и определяют соответственно моменты ti и 2- Этот пример рассматривали и Аппель и Пенлеве, однако различными способами. [c.318]

Вихри на Т . Случай решеток можно получить из случая цепочек при помощи еще одного суммирования. Введем два периода 2loi, 2lo2, пользуясь стандартными обозначениями из теории эллиптических функций. Пусть т = W2/< i имеет положительную мнимую часть. [c.164]

Однозначная мероморфная двоякопериодическая функция называется эллиптической функцией. Эллиптическая функция имеет два независимых периода, Ш и шг. Мнол<ество всех периодов можно представить в виде [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...