Цикл без континуума

Кроме того, так как по самому определению области у1 все траектории, проходящие через ее точки прп убывании г, из нее выходят, то, очевидно, все траектории, проходящие через точки области также заведомо выходят из этой области, пересекая цикл без контакта (так как пересечь К они не могут). Далее, всякая траектория, имеющая АГ+ своим ю-предельным континуумом, во всяком случае пересечет часть РРг + 1, [c.424]

Пусть V — каноническая окрестность континуума АГ+, С — цикл без контакта, входящий в ее границу, у — каноническая окрестность континуума К и С — цикл без контакта, входящий в ее границу. [c.426]

Пусть по-прежнему С — цикл без контакта ю-или -предельного континуума Ю . Приведем лемму, в которой направление обхода по I кривых 5 , составляющих континуум АГ связывается с направлением обхода циклов без контакта, согласованных с направлением по I (см. п. 3). [c.440]

Лемма 12. Циклический порядок, в котором располагаются на цикле без контакта континуума точки пересечения с полутраекториями один и тот же на всех циклах без контакта этого континуума. [c.442]

Доказательство. Пусть Сх и Сг — какие-нибудь два цикла без контакта континуума К Предположим сначала, что они не имеют друг с другом общих точек. Так как каждая из траекторий пересекает оба цикла без контакта Сх и С2 и каждый из этих циклов только в одной точке, то отсюда, очевидно, следует утверждение леммы в рассматриваемом случае. [c.442]

Предположим теперь, что циклы Сх и Са имеют общие точки. Всегда существует цикл без контакта континуума Ю не имеющий общих точек ни с Сх, ни с Сг (таким циклом будет, например, любой цикл без контакта С, лежащий в достаточно малой окрестности континуума Тогда, рассматривая сначала циклы С1 и С, а затем циклы Сг и С попарно, не имеющие друг с другом общих точек, нетрудно так же, как и выше, убедиться в справедливости настоящей леммы. [c.442]

Замечание. Пусть 5 — простая замкнутая кривая, состоящая из витка траектории, отличной от траекторий ЬР (т. е. не особой) и дуги без контакта, целиком лежащая в какой-нибудь канонической окрестности континуума К - . Очевидно, все полутраектории Lt пересекают дугу без контакта, входящую в состав этой кривой. При этом циклический порядок этих точек пересечения на кривой 5 тот же, что II циклический порядок этих точек на любом цикле без контакта континуума [c.442]

Доказанная лемма позволяет говорить о циклическом порядке особых полутраекторий (г = 1, 2, 3,. . ., п), стремящихся к данному предельному континууму Именно, это тот циклический порядок, в котором на любом цикле без контакта этого континуума располагаются точки М1 пересечения с траекториями (рис. 267). [c.442]

Рассмотрим канонические кривые С и С континуумов и K , т. е. либо циклы без контакта, либо замкнутые траектории в зависимости от того, являются ли Ю и К О)-, а- или О-предельными. Пусть у и у — канонические окрестности этих континуумов, ограниченные соответственно кривыми С и С. [c.446]

Рассмотрим циклы без контакта С) и (а), т. е. циклы без контакта, входящие в границы канонических окрестностей предельных континуумов как не являющихся состоянием равновесия, так и являющихся состоянием равновесия (узлом). Те из этих циклов без контакта, которые не имеют ни одной общей точки с особыми полутраекториями, будем называть свободными циклами без контакта (С) и (а). Очевидно, каждый свободный цикл без контакта (С) и (о) входит в границу канонической окрестности (уг) или gi) свободного континуума, не являющегося состоянием равновесия или свободного узла. Свободный цикл без контакта С) или (а) будем называть со- или а-циклом в зависимости от того, входит ли он в границу канонической окрестности со- или а-предельного континуума (и, в частности, устойчивого или неустойчивого узла). Если граничная кривая (Г) является циклом без контакта и при этом ни одна ее точка [c.458]

Лемма 2. Если внешний из двух сопряженных циклов без контакта не является граничной кривой Г, то со [а)-предельный континуум, которому он принадлежит, лежит вне его, если внутренний, то [c.464]

Сопряженные ю- и а-предельные континуумы. Предельный континуум лежащий вне принадлежащего ему цикла без контакта, будем называть внешним предельным континуумом, а лежащий внутри принадлежащего ему цикла без контакта — внутренним предельным континуумом. [c.465]

Г")). Если один из сопряженных циклов С является граничной кривой Г, а другой С не является граничной кривой, то мы будем говорить, что континуум которому принадлежит цикл С, сопряжен с граничным циклом С. При этом граничный цикл С мы будем называть внешним или внутренним в зависимости от того, содержатся ли точки области С впе или внутри него. Очевидно, всякий внешний со (а)-предельный континуум сопряжен либо с внутренним а (со)-предельным континуумом, либо с внутренним граничным циклом без контакта. Всякий внутренний со (а)-предельный континуум лпбо [c.465]

V. Указаны все пары сопряженных свободных со-, а- и Q-предельных континуумов и граничных циклов без контакта и для каждой такой пары указано, какой из ее элементов является внешним и какой внутренни.ч. [c.482]

Таблица вида V ранее не была определена. Для ее записи введем следующие обозначения если Ю — внешний континуум или граничный цикл без контакта Г, а К или Г — сопряженный внутренний, то мы будем пользоваться следующим обозначением [c.482]

Лемма 2. Через всякую достаточно близкую к Р точку дуги I, лежащую по положительную сторону траектории может быть проведен цикл без контакта С и при этом 1) сущестеует одна и только одна область, граница которой состоит из цикла без коптакта С и. континуума 2) через все точки этой области проходят траектории, которые при + оо стремятся к континууму, а при убывании [c.424]

I выходят из этой области и, следовательно, пересекают цикл без контакта С 3) всякая полутраектория, имеющая своим (о-пределъным континуумом, пересекает цикл без контакта С. [c.424]

Всякую область, граница которой состоит из цикла без контакта С и континуума через все точки которой проходят траектории, нмею-щие К своим со-предельным континуумом (с положительной стороны), будем называть канонической окрестностью континуума и обозначать через Ус или просто у. Цикл без коптакта С, входящий в грашщу канопш1е-ско окрестности континуума К, будем называть циклом без контакта континуума 7 + [c.425]

Очевидно, каноническая окрестность континуума не содержит ни одной особой траектории, п все проходящие через ее точки т])аектории при убывании 1 выходят пз нее, пересекая цикл без контакта С. В дальнейшем мы главным образом будем рассматривать замыкание области Ус, т. о. замкнутую каноническую окрестность с- [c.425]

Направление обхода ио I кривой С индуцирует иа части РгР + 1 дугн I направление от точки + 1 к точке Р . Напраиленио обхода по Ь кривой С определяет также некоторое наиравлеипе обхода (совпадающее с положительным направлением обхода илн противоположное ему) иа всех замкнутых кривых, и, в частности, на всяком цикле без контакта С континуума К+. На цикле без контакта континуума К это направление обхода мы будем называть согласованным с направлением по I. [c.425]

В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать замкнутую каноническую окрестность уг,- Будем в дальнейшем называть канонической кривой со-, а- или 0-предельного континуума Ю простую замкнутую кривую С, входящую в грашщу канонической окрестностп этого континуума и являющуюся циклом без контакта — в случае, когда [c.426]

Замечание I. Предположим, что задано топологическое отображение двух континуумов К п с одинаковыми локал1>иыми схемами (при котором точки траекторий, соответствующих друг другую ио схеме, отображаются друг в друга), и прп этол направление на траекториях сохраняется. Кроме того, предположим, что м( жду точками циклов без контакта С и С тоже задано топологическое отображение, прп котором согласованные с направлепием по I обходы этих циклов сохраняются (т. о. когда цикл С обходится в наиравлении. согласованном с направлением по I, то соответствующие ио заданному отоб])а г сншо точкп обходят [c.431]

ЦИКЛ с также в направлении, согласованном с направлением по t). Тогда топологическое отображение замкнутых канонических областей у и Y всегда может быть построено таким образом, чтобы заданное соответствие между точками континуумов и и циклов без контакта С и С сохранялось. Для этого, очевидно, концы М и М дуг и л нужно взять в точках, соответствующих по заданному отображению точкам Mi и М, а между точками отрезков без контакта Л и X нулчно брать соответствие, индуцированное соответствием, заданным меледу точками циклов без контакта С и С. Наконец, устанавливая отображение между элементарными четырехугольниками и седловыми областями, соответствующими друг другу по схеме, нужно сохранить заданное соответствие в точках этих замкнутых областей, принадлежащих континуумам /(lJ и (см. замечание к леммам главы VHI, устанавливающим тожде-ствеппость элементарных областей). Аналогичное замечание справедливо и в случае, когда рассматриваются а-предельные континуумы Kt. и пли 0-предельные континуумы и [c.432]

Замечание. Предположим, что рассматриваемый континуум АГ является, например, континуумом Кщ. Пусть I — дуга без контакта с концом в принадлежащей континууму точке Р, лежащая по положительную сторону К , Ь — траектория, стремящаяся к АГщ, Р , Р2, - — ее точки иоресечония с дугой I и СI — неоднократно рассмотренные замкнутые кривые, состоящие из витка Рг +1 траектории Ь и части РгР1 + 1 дуги I. Тогда в силу замечания 2 к ле.мме 2 24 очевидно, что если континуум К , лежит внутри (вне) своего цикла без контакта, то К , лежит также и внутри (вне) всех кривых С при достаточно большом . Наоборот, если коитинуу.м АГ5 лежит внутрп (вне) кривых <7 (при достаточно большом 1), то он лежит также внутри (вне) всякого своего цикла без контакта. [c.440]

Лемма 10. а) Пусть состоит из одной замкнутой кривой или из нескольких замкнутых кривых 81, лежащих одна вне другой если не считать их общих точек). Тогда если положительное направление обхода кривых совпадает с направлением по I противоположно направлению по 1), то положительное напраеление обхода всякого цикла без контакта континуума АГ совпадает с направлением обхода, согласованным с направлением по I противоположно ему), б) Пусть среди простых за.мкнугпых кривых "г континуума АГ сущестеует одна, например 8х, содержащая есе остальные внутри себя. Тогда, если положительное направление обхода кривой 81 совпадает с направлением по I противоположно паправ.аению по 1), то положительное направление обхода всякого цикла без контакта континуума Ю совпадает с направлением, согласованным с направлением по I противоположно ему). [c.440]

Пусть С — какой-нибудь цикл без контакта континуу.ма А т п у — ограниченная им каноническая окрестность. Пусть 1— одиа пз входящих в континуум АГи траекторий и 1 — та из простых замкнутых кривых, составляющих континуум АГ , в которую входит траектория Ь . Возьмем на траектории четыре точки А, Ах, А и Аз, соответствующие ири [c.440]

Справедливость второго утверждения теоремы в случае, когда континуумы А и являются свободными, непосредственно следует из теоремы 72. В случае, когда континуумы и являются несвободными сз- или а-предельными континуумами, всегда можно в силу условия 4) тождественности схем установить такое тонологическое соответствие между точками циклов без контакта С и С, при котором точкп пересечения с этими циклами полутраекторий ( ), ( ) и ( ), ( ), соответствующих друг другу по схеме, соответствуют друг другу. В силу замечания к теореме 72 существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг на друга, прп котором установленное соответствие между точками циклов С и С сохраняется. Таким образом, теорема доказана. [c.446]

Пусть, далее, К . . ., АУ (К) — все (односторонние) предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний равновесия, расположенные в G, Yj, Ysi > (y) — их канонические окрестности, i, С2, - - -, jf (С) — соответствующие канонические кривые континуумов (К) каждая кривая Сг является либо циклом без контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-мом Ki составляет границу канонической окрестности уг- [c.454]

Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума ку и ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все точки этих континуумов общие, так что континуумы КУ и Ку различны как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через точки любой канонической окрестнос П К и ограничивающего ее цикла без контакта С , имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе траектории, проходящие через точки канонической окрестности /Г и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы КУ и Юу совпадают как точечные множества, так что один пз этих континуумов является континуумом КТ, а другой К1. Пусть — какая-нибудь отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав зтих континуумов. Если канонические окрестности континуумов К и К имеют общие точки, то траектория Ьа для всякой траектории Ь, проходящей через такую общую точку, является предельной как с положительной, так и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек. [c.456]

Доказательство. Пусть С и С — два сопряженных цикла без контакта, и пусть внешний цикл С не является граничной криво Г. Для доказательства предположим противное, т. е. что континуум К - которому принадлежит цикл С, лежит внутри этого цикла. Но цикл С тоже лежит внутри цикла С. В кольцевой области между циклами С и С не может лежать ни одпой особой траектории (см. замечание к лемме 1). Отсюда очевидно, что К , которому принадлежит цикл С, лежит и внутри цикла С. Но это означает, что цикл С лежит в канонической окрестности у континуума Ю , ограниченной кривой С. В случае, когда цикл С является граничной кривой Г, это невозможно, так как но самому определению канонической окрестности предельного континуума в ней но может лежать граничная кривая Г. Но это невозможно также и в случае, когда цикл С не является граничной кривой Г в силу того, что выбранная система канонических окрестиостси правильная. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы, касающееся внешнего из двух соиряжепных циклов. Совершенно аналогично проводится доказательство и при рассмотрении внутреннего сопряженного цикла. Лемма доказана. [c.464]

Принимая во внимание, что каноническая кривая состояния равновесия может быть циклом без контакта лишь в случае, когда состояние равновесия есть узел, а также в силу леммы 1 25 нетрудно видеть, что 1) внутренний континуум Кы является либо узлом, либо простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо составлен из нескольких простых замкнутых кривых легкащих одна вне другой (если не считать их общих точек) 2) внешний континуум К К а) либо является простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо состоит из нескольких простых замкнутых кривых и тогда одна из этих замкнутых кривых, о, содержит внутри нее остальные, лежащие одна вне другой. Если К - и К - — два сопряженных предельных континуума, то, очевидно, внутренний континуум К лежит внутри кривой о внешнего континуума К - [c.465]

Лемма 3. а) Всякие два сопряженных со- и а-предельных континуума являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной целыми траекториями, б) со а)-пределъный континуум и сопряженный с ним граничный цикл без контакта являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной полутраекториями. в) Два сопряженных граничных цикла без контакта являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной дугами траекторий. [c.465]

Докажем еще одну лемму, касающуюся соиряжешшх свободных Ы-, а-предельных континуумов и граничных циклов без контакта, а также О-предельных континуумов. Пусть — внешний со-, а- пли 0-нредель-пьп континуум и.чи же внешний граничный цикл без контакта. Очевпдно, может быть простой замкнутой кривой, например, в с.чучао, когда [c.466]

К" — граничный цикл без контакта или предельный цикл. Мы будем тогда обозначать эту простую замкнутую кривую (совпадающую с через Если же К не является простой замкнутой кривой, то п силу предыдущего он представляет из себя предельный континуум, одна из кривых "о которого содержит внутри себя все остальные. В этом случае через 5о мы будем обозначать эту внешнюю кривую иредельного континуума К - [c.467]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Ог) = 01, 0 (Li) = И Т. Д. Из самого определения тождествениостп схем динамических систем В и В следует, что соответствие между особыми элементами этих систем порождает взаимно однозначное соответствие 1) между со-, а- и О-предельными континуумами этих систем, составленными из соответствующих друг другу по схеме особых элементов, а также между простыми замкнутыми кривыми 81, из которых оти континуумы составлены 2) между граничными кривыми, составленными из соответствующих друг другу по схеме граничных дуг траекторий и дуг без контакта, а также являющихся соотвегствующими друг другу по схеме граничными циклами без контакта. [c.485]

Если отрезок без контакта пересекает континуум замкнутых траекторий (см. рис. 6.3), то имеется целый отрезок неподвижных точек, а функция последования имеет вид Если же имеется предельный цикл, т.е. изолированная замкнутая траектория, то и соответствующая ему неподвижная точка будет изолированной, т.е. в достаточно малой ее окрестности (на отрезке без контакта) нет других неподвижных точек. Если 5= 5,,.... .., 5=8 - корни уравнения (6.3), то имеется Ш предельных циклов, проходящих через точки Л р. .., отрезка без контакта. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...