Случай двух равных корней

Главные значения тензора деформаций, которые называются главными относительными удлинениями, являются корнями кубического уравнения (3.37). Направления, соответствующие главным удлинениям 1, Е2, ез, взаимно перпендикулярны. Когда имеет место случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению, соответствующему простому корню в этом случае любые взаимно ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть приняты за главные. Если все три корня равны, то любые Перпендикулярные направления можно принять за главные. [c.55]

Случай двух равных корней 277 [c.277]

Случай трех действительных равных между собой значений при данном р соответствует критическому давлению. Случай одного действительного и двух мнимых корней соответствует сверхкритическим давлениям, так как [c.178]

Чтобы пояснить вопрос наиболее простым примером, возьмем опять случай двух степеней свободы. Если с для ш=0 обращается в нуль и таким образом в общем случае содержит со в качестве множителя, то два корня уравнения (4) при ма.юм приближенно равны [c.397]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

Отсюда следует, что функция в правой части имеет два бесконечных ряда корней 6 2кя и — 6 -f- 2Ai , где k есть какое-нибудь целое число (положительное, отрицательное или равное нулю). Так как все члены каждого из этих двух рядов определяют на окруж ности одно и то же положение, то достаточно рассмотреть толькО один член каждого из этих рядов, т. е. достаточно взять, например, два корня 6д и —Oq. Так как производная от синуса, т. е. косинус, при обращении синуса в нуль отлична от нуля, то каждый из двух, корней 6д и — 00 является простым для правой части равенства (2Г), за исключением тех случаев, когда эти корни совпадают пли >хе отличаются друг от друга на кратное 2г. Но второй случай не может иметь места, так как предполагается, что 6о <С > первый сам собой исключается, так как это означало бы, вопреки предположению, что бд = 0. [c.41]

Случаи 1) — 3) можно выделить как случаи, когда характеристические корни имеют не равные нулю действительные части ). Кроме того, мы увидим, что топологическая структура состояния равновесия в первых двух случаях одинакова. Эти случаи иногда объединяют в один, называя его случаем, когда действительные части характеристических корней не равны нулю и имеют одинаковые знаки. [c.145]

Указанные рассуждения существенно основываются на том, что определитель D имеет симметричную форму. Если одна из масс равна нулю, то этот случай места не имеет, и поэтому возможно, что для малых планет, которые расположены так, что уравнение (5) имеет кратные корни, время может входит и вне тригонометрических функций. Эти рассуждения для случая двух равных корней фундаментального уравнения приводятся в статье автора [39]. Мы отсылаем читателя по этому вопросу к статье А. Идмана [40] (см. также 12). [c.321]

Очевидно, что если эта величина Р > 1, то и А > О, и корни будут вещественными при р == 1 будем иметь пограничный случай двух равных вещественных корней — вообще говоря, случай сомнительный. Следовательно, наше суждение о характере и природе корней основывается теперь на количестбенном представлении. [c.125]

На рис. 9.4,3 приведены графики изменения действительных и мнимых частей комплексных корней для предельного случая, когда С1=оо. С увеличением скорости потока мнимые части комплексных корней Р) и Рг убывают, а действительные части О и 02 равны нулю. При ш о (точка А) первая частота обращается в нуль и появляются два действительных (равных по модулю) корня оц и 0 2 разных знаков, т. е. ш о соответствует дивергенции трубки. В точке В действительные корни Оц и 012 становятся равными нулю и появляется опять 1р1, а 0 равно нулю до значений гео, соответствующих точке С. В точке С мнимые части двух комплексных корней сливаются (точка О), и появляется положительная действительная часть а ,2, т. е. точка С соответствует значению скорости потока Шс , при которой трубка становится динамически неустойчивой. Результаты, приведенные на графиках (рис. 9.4), получены совместно с А. В. Остроуховым. [c.269]

Следовательно, при существенно различных парциальных частотах начальная энергия, сообше1П1ая одной из систем с одной степенью свободы, почти целиком остается в этой системе и только очень малая доля ее перекачивается во вторую систему и обратно бисЕШя будут очень неглубокими. Л это значит, что только в тон системе, которой сообщена начальная энергия, возникнут колебания и частота этих колебаний будет близка к парциальной частоте этой системы. (Этим случай двух существенно различных парциальных частот в корне отличается от случая равных парциальных частот, когда даже при очень слабой связи энергия полностью перекачивается из одной системы в другую и обратно.) Рис. 419. [c.641]

Уравнение шестого порядка /(г)=°0 имеет равные корни лишь тогда, когда А. принимает значения О, 1/2 или 1. Для случая Х.<>0 все сводится к взаимодействию двух вихрей, случай А. соответствует равностороннему треугольнику и рассмотренвыше, а к Х - 1/2 обратимся ниже. [c.92]

Рассмотрим случай, когда все компоненты вдуваемой газовой смеси могут быть разделены на две группы с близкими (будем полагать равными) диффузионными свойствами. Тогда можно рассматривать три различных коэффициента диффузии по одному коэффициенту диффузии в каждой группе между компонентами данной группы Di, и коэффициент диффузии компонентов первой группы по отношению к компонентам второй группы D3, Кроме вдуваемых в смеси может присутствовать произвольное число (а) групп компонентов с близкими диффузионными свойствами. Тогда общее число коэффициентов дис узии, от которых зависит решение, равно 3 + 2а, т. е. необходимо также учитывать коэффициенты диффузии всех групп компонентов относительно двух групп Оц, Dj2, присутствующих во вдуваемой смеси. В рассматриваемом случае корни характеристического уравнения получаются в виде [c.278]

Л,-где ось 2 направлена в глубину среды. Подстановка этих выражений в уравнения дви ке-ния и требования нетривиальности решения (т. е. коэффициенты А[, 5,- не равны тождественно нулю) позволяют выразить коэффициенты затухания по глубине в, г через волновое число и параметры среды. Дальнейшая подстановка решения в граничные условия (отсутствие возмущений напряжений в скелете среды и давленпя в жидкости) приводит к искомому дисперсионному уравнению. Это уравнение весьма сложно, поэтому Джонс ограничивается следующим замечанием исследуемое движение будет поверхностной волной, если коэффициенты г, 5 — действительные, положительные числа. Это возможно при нулевом коэффициенте вязкости, т. е. при ТО) 0. В связи со сложностью общего дисперсионного уравнения Джонс ограничивается далее рассмотрением этого случая, когда дисперсионное уравнение сводится к алгебраическому уравнению шестого порядка и показывает наличие по крайней мере одного корня, соответствующего двум возможным поверхностным волнам Релея. В сплошной однофазной упругой среде, как известно, такая поверхностная волна одна — наличие двух волн связано с существованием деформации двух типов, переупаковки и изменения плотности фаз. Частный случай волны Релея в отсутствии эффекта сжимаемости фаз рассматривался Э. А. Бондаревым [26]. [c.140]

При < О оба значения корня в (132а) вещественны, при этом одно из них положительно, а другое отрицательно. Положительный вещественный корень ведет к решению, экспоненциально растущему на бесконечности — такое решение нельзя нормировать даже в обобщенном смысле и, следовательно, оно должно быть отброшено. Таким образом из двух решений, входящих в (132), допустимым будет только одно постоянную Сг следует положить равной нулю. Поэтому, когда мы будем продолжать в область больших г единственное допустимое в области г- 0 решение, то мы, вообще говоря, придем к недопустимой линейной комбинации, включающей запрещенную константу С 2, — т. е. вообще говоря, при произвольных Е, решений, удовлетворяющих обоим граничным условиям сразу, не будет. Лишь для некоторых избранных значений Е может случиться, что при продолжении допустимого в области малых г решения на большие г мы придем как раз к единственно допустимому там решению с 0 = 0. Эти избранные значения будут собственными значениями дискретного спектра. Поскольку соответствующие волновые функции на бесконечности будут экспоненциально убывать, то для них будет [c.490]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...