Дифференциальные уравнения на двумерном торе

Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений . Горький, 1983, 3—26 [c.211]

Рассмотрим на двумерном торе T pi, р2 mod 1 систему дифференциальных уравнений [c.189]

Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных уравнений может иметь векторные поля симметрий конечной гладкости. В качестве примера рассмотрим на двумерном торе = Ж1,Ж2 mod 2тг динамическую систему вида [c.80]

В этом параграфе мы рассмотрим аналоги примеров из 3,4, соответствующие случаю непрерывного времени. Начнем со следующей системы дифференциальных уравнений на двумерном торе (мы используем аддитивное представление) [c.46]

Дифференциальные уравнения на двумерном торе [c.45]

Книга [62] посвящена теории слоений, частью которой является теория дифференциальных уравнений с вещественным и комплексным временем. Она содержит подробное изложение геометрической теории дифференциальных уравнений на двумерном и трехмерном торе. [c.141]

Наиболее просто описывается движение частиц сплошной среды по компактным интегральным поверхностям. Пусть М — компактная поверхность без края. Так как поля v и w касаются М, линейно независимы во всех точках и коммутируют, то поверхность М — двумерный тор (точнее, М диффеоморфна тору) и в некоторых угловых координатах 1, 2 mod 2тг на этом торе дифференциальные уравнения для линий тока и вихревых линий [c.22]

Пусть на двумерном торе с циклическими координатами и, v) задана система дифференциальных уравнений [c.33]

Метод аппроксимаций позволил также полностью исследовать спектральные свойства гладких эргодических д. с. на двумерном торе. Пусть на торе М= /Х с циклическими координатами ы, о и нормированной мерой Лебега du dv задана система дифференциальных уравнений [c.74]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

Укажем основные моменты доказательства. Поскольку векторное поле f касается М то дифференциальное уравнение (23) можно ограничить иа Мс. Это уравнение на Мс будет иметь инвариантную меру.(см. гл. I, п. 3.6 там же приведена явная формула для плотности инвариантной меры). Интегрируемость в квадратурах на Мс вытекает теперь нз замечания Эйлера. Заключение 1 теоремы 13 (отмеченное впервые Якоби) тем самым доказано. Заключение 2 составляет известный топологический факт, что всякое связное, компактное, ориентируемое двумерное многообразие, допускающее касательное поле без особых точек, диффеоморфно двумерному тору. Заключение 3 фактически является теоремой Колмогорпва [87][ [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...