Принцип подчинения отображений

МЫ вновь сталкиваемся с критическим замедлением и нарушением симметрии, применимостью принципа подчинения (для дискретных отображений) и т. д. Эти аналогии становятся еще более близкими, если рассматривать дискретные отображения с шумом (о которых пойдет речь далее). Уравнения (1.17.5) находят многочисленные приложения, которые до сих пор изучались лишь в отдельных частных случаях. Например, вектор состояния х может символизировать различные пространственные структуры. [c.84]

Принцип подчинения для дискретных отображений с шумом [c.245]

Во введении было показано, что при описании сложных систем мы можем использовать не только дифференциальные уравнения, но и отображения для моментов времени, образующих дискретную последовательность. Исследование таких отображений обретает все большее значение для современной математики и теоретической физики. В этом разделе мы хотим показать, как принцип подчинения можно обобщить на случай дискретных отображений. Затем с помощью соответствующего предельного перехода мы распространим принцип подчинения на стохастические дифференциальные уравнения (разд. 7.9). [c.245]

В этой главе мы рассмотрим дискретные отображения с шумом, о которых упоминалось во введении. В первых разделах мы покажем, каким образом результаты, полученные нами ранее для дифференциальных уравнений, обобщаются на дискретные отображения, а в разд. 7.7—7.9 — как обобщается принцип подчинения. Затем читатель познакомится с дискретным аналогом уравнения Фоккера—Планка (разд. 10.2—10.4), и в заключение мы введем интегралы по траекториям и покажем, каким образом с их помощью можно найти дискретный аналог решений временного уравнения Фоккера—Планка. [c.349]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...