Градиент вектора в ортогональных координатах

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Для записи уравнений Эйлера в произвольной ортогональной системе координат необходимо добавить представление для градиента по направлению от вектора а Л/Ь, а для уравнений Навье - Стокса - еще и представление для оператора Лапласа, действующего на векторную функцию. Компоненты лапласиана могут быть вычислены путем замены скалярной функции в приве- [c.37]

Хотя в определении grad участвует ортогональная система координат х, у, г, градиент не зависит от ее введения. Инвариантное определение градиента состоит в том, что grad ц есть вектор, имеющий направление максимального возрастания поля и х, у, г) и равный по значению производной поля и(х, у, г) по этому направлению. Формула (4.22) в терминах градиента записывается в виде [c.105]

И. 1. Набла-оператор. В скалярном поле, задаваемом функцией координат (p xi, Х2, Хз), может быть определен вектор дгас1ф (градиент), проекции которого на оси ортогональной декартовой системы координат равны частным производным от скаляра ф по х, [c.839]

ЛИШЬ применим его к случаю упругих материалов, когда наблюдаемой величиной , вычисляемой посредством определяющего уравнения, является вектор напряжений Коши. Прежде всего отметим, что вместо перехода к другому ортогональному базису (такой подход рассмотрен в упражнении 3.6) мы поступаем эквивалентным образом, сохраняя базис фиксированным и поворачивая деформированную конфигурацию относительно начала координат (сдвигами начала координат можно пренебречь, поскольку они не влияют на градиент деформации). Поэтому оказывается достаточным указать соответствующий поворот векторов напряжений Коши. Итак, мы приходим к следующей аксиоме (изложение этих вопросов с более общих позиций см. в работах Noll [1955, 1958], Truesdell Noll [1965, 19 19А]). [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...