Отображение логистическое

Сохраняя у П(х) только квадратичную часть, отображение можно, не теряя общности, привести к логистическому уравнению [c.132]

Другая удобная форма квадратичного отображения получается путем замены х = — ( -/2) у и С = х,/2 в (7.2.4). Это приводит к так называемому логистическому отображению [c.428]

При X > 1 имеются две точки равновесия (т. е. х = Хх (1 - х)). Для выяснения устойчивости отображения / (х ) следует вычислить величину наклона I/ (х)1 в точке покоя. Если I/ I > 1, точка покоя неустойчива. При 1 < X < 3 логистическое уравнение (1.3.6) имеет две точки покоя х О, (X - 1)/Х при этом начало координат — неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива. [c.35]

Рис. I.I8. Возможные типы решений логистического уравнения (1.3.6) (квадратичного отображения). Вверху — стационарное движение с периодом 1 посередине — движения с периодом 2 и периодом 4 внизу — хаотическое движение.

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

Ранее в этой главе мы узнали, что логистическое, или квадратичное, отображение становится хаотическим, когда управляющий параметр а > 3,57 [c.200]

Логистическое отображение позволяет продемонстрировать еще одну важную особенность многих динамических систем при даль- [c.82]

В качестве нетривиального примера на рис. 1.17.17 показан показатель Ляпунова логистического отображения (1.17.3) как функция от а. Положительные значения показателя соответствуют хаотическому движению, в то время как отрицательные значения указывают на регулярный (периодический) режим. [c.85]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Как обсуждалось в гл. 2, одним из признаков приближения динамической системы к хаотическому режиму является серия измерений характера периодического движения по мере изменения некоторого параметра. В типичном случае осциллятора с одной степенью свободы, при приближении управляющего параметра к значению, критическому для хаотического движения, возникают субгармонические колебания. В логистическом уравнении , ставшем теперь классическим примером, возникают ряды колебаний с периодом 2 (см. (1.3.6)). Явление внезапной перестройки движения при изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диа-фаммы получаются в эксперименте с помощью временной выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например амплитуда или частота возбуждения, а по вертикальной — значения координаты из временной выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экспериментов, каждый из которых проводится при определенном значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно получить довольно быстро, если есть возможность автоматического изменения управляющего параметра, например с помощью компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый. Необхо- [c.135]

Чтобы получить одномерное отображение, нндуцируоиое этим потоком, Лоренц рассмотрел последовательные максимумы переменной г, которые он обозначил График зависимости от М показал, что в данном случае отображение задается кривой, напоминающей по форме крышу домика. Затем Лоренц исследовал упрошенный вариант этого отображения, получившего название отображение типа домика , — билинейную разновидность логистического уравнения [c.279]

Она служит примером многомерных систем, динамика которых допускает аппроксимацию одномерным отображением. Проведите сечение Пуанкаре при = О и постройте на плоскости (рс,г) одномерное отображение из точек, т. е. постройте график зависимости , от дг . Обратите внимание на сходство полученной кривой с квадратичным, или логистическим, отображением. Неудивительно, что в модели Ресслера наблюдается удвоение периода. [c.285]

Последний путь к турбулентности, о котором мы хотели бы особо упомянуть, называется путем через перемежаемость. Его принято связывать с именами Помо и Манневиля. Суть этого пути состоит в том, что всплески турбулентности чередуются с участками, на которых устанавливаются регулярные режимы. Подробное рассмотрение перемежаелюсти с помощью так называемого логистического отображения см. в моей предыдущей книге [1 ]. [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...