Таутохрона

Всякая кривая, удовлетворяющая этому единственному условию, будет таутохроной. Точка таутохронизма 5 = 0 будет, очевидно, положением устойчивого равновесия для точки, движущейся по этой кривой. [c.390]

Вместо того, чтобы заставлять кривую находиться на задан ной поверхности, можно потребовать, чтобы она была также таутохроной с той же самой точкой таутохронизма для другого закона силы Х , К,, Z , зависящей только от положения движущейся точки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы, кроме уравнения (1), удовлетворялось еще уравнение [c.391]

Оба уравнения (1) и (И) совместно с уравнением (3) определяют х, у, z в функции 5. Полученная кривая будет таутохроной и для силы ХХ- - аА" ,. .., где X и а—положительные постоянные. [c.391]

Найдем, например, кривую, которая является таутохроной 1) для силы тяжести и 2) для силы притяжения, имеющей постоянную интенсивность / и исходящей от вертикальной оси. Примем эту ось за ось Ог, счн- [c.392]

Найти плоскую таутохрону для точки, притягиваемой неподвижным центром, лежащим в плоскости таутохроны, с силой, пропорциональной расстоянию г (п. 252). [c.406]

Определить таутохрону для тяжелой точки в вертикальной плоскости, принимая во внимание трение и сопротивление среды, пропорциональное и . (Задача приводится к линейному уравнению относительно кА) [c.407]

Таутохрона 390, 406, 407 Тело, опирающееся на неподвижную плоскость 139 [c.514]

Циклоида называется поэтому таутохроной (колебания по ней совершаются сами собой изохронно ) она называется также брахистохроной (при одинаковых начальном и конечном положениях тело при скольжении по циклоиде затрачивает кратчайшее время по сравнению с временем, которое оно затратило бы при скольжении по наклонной плоскости или какой-либо другой кривой). Задача о брахистохроне особенно замечательна тем, что с нее началось развитие вариационного исчисления. [c.128]

Учение об эволютах впервые разработал выдающийся голландский механик, физик и математик XVII в. Христиан Гюйгенс (1629—1695) и применил его к исследованию циклоиды. Он установил таутохронность движения по циклоиде. Гюйгенсу принадлежит изобретение часов с циклоидальным маятником. Он доказал, что часы с обыкновенным маятником (круговым) не могут идти точно, и поставил перед собой задачу определить, по какой кривой должна двигаться точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды (т. е. чтобы время качания не зависело от величины размаха). Такой таутохронной кривой оказалась циклоида. [c.333]

Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным. Одновременно, поскольку период Т не зависит от величины размахов (амплитуды), это движение является изохронным. [c.363]

Рис. 4.15 поясняет, каким образом пути лучей, идущих через середину и край линзы, могут быть таутохронными. Хотя геометрически путь SABS короче пути SMNS, но часть, приходя- [c.90]

В этом случае время, необходимое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. тс/2Л. Оно не зависит от х . Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронным. [c.285]

Прямолинейное таутохронное движение. Говорят, что прямолинейное движение является таутохрояяим, если точка, начинающая движение без начальной скорости и находящаяся под действием заданных сил, затратит одно и то же время для достижения определенного конечного положения, каково бы ни было ее положение в начальный момент. [c.297]

Для того чтобы движение было таутохронным, необходимо и достаточно, чтобы Т не зависело от ас , т. е. от Чтобы выразить это, напишем, что производная от Т по параметру равна нулю. Чтобы избавиться от бесконечных членов в выражении этой производной, сделаем пределы не зависящими от гд, положив г — 2оИ-Тогда [c.298]

Следовательно, единственной зависящей только от х силой, вызывающей прямолинейное таутохронное движение, является притяжение, пропорциональное расстоянию. Это движение было рассмотрено выще (п. 211). [c.299]

Равнодействующая сил зависит от положения и скорости тонки. Мы ограничимся для этого случая лишь некоторыми библиографическими ссылками. Лагранж указал (Memoires de Berlin, 1765 и 1770) общий закон силы, при которой таутохронизм будет обязательно иметь место и который как частный случай содержит предыдущий закон. Но, как заметил Бертран, формула Лагранжа не дает всех законов для силы, при которых движение будет таутохронным. [c.299]

Показать, что если закон таутохронного движения входит в формулу Лагранжа, то при присоединении к действующей силе сопротивления, пропорционального скорости, по-прежнему получится таутохронное движение. [c.320]

В прямолинейном движении выразить скорость V в функции х и Хд так, чтобы соответствующее движение было таутохронным. [c.320]

Ответ. Приняв точку таутохронности за начало, предположим, что скорость написана в следующей форме [c.320]

Функция 6 обращается в нуль при = 0, и условие таутохронности заключается в том, что 6 должна обращаться в нуль также и при 5=1. Наоборот, если 6 есть произвольная функция от Хд и , обращающаяся в нуль при [c.320]

Таутохроны. Выше мы нашли, что движение тяжелой точки по циклоиде является таутохронным. Рассмотрим общий случай движения точки по любой заданной материальной кривой, под действием сил, тоже заданных. Говорят, что кривая является таутохроной, если на ней существует точка О такая, что движущаяся точка, предоставленная самой себе без начальной скорости, приходит в положение О за одно и то же время, каково бы ни было ее начальное положение. Точка О называется точкой таутохроназма. [c.390]

Пусть F X, Y, Z), где X, Y, Z — функции только х, у, z — суть заданные силы. По какой кривой нужно заставить двигаться без трения точку, чтобы движение было таутохронным [c.390]

Допустим, что одна из этих таутохронных кривых найдена, и будем отсчитывать дуги от точки таутохронизма О. Имеем уравнение движения [c.390]

Вдоль кривой координаты х, у, 2 являются функциями дуги 5. Следовательно, X, Y, Z будут также определенными функциями от и в уравнении правая часть р является функцией от 5. Это уравнение будет тогда совпадать с уравнением прямолинейного движения, происходящим по оси О в под действием силы Р , зависящей только от положения точки. Требуется, чтобы это движение было таутохронным. Но мы видели, на основании метода Пюизё (п. 213), что необходимое и достаточное условие таутохронизма заключается в том, что сила Р должна быть вида —где — положительная постоянная. Следовательно, для того, чтобы предложенная кривая была таутохроной, необходимо и достаточно, чтобы [c.390]

Приложения. 1°. Тяжелая точка, движущаяся при отсутствии сопротивления среды и трения. Прежде всего можно свести нахождение пространственных таутохронных кривых под действием веса к нахождению плоских кривых. В самом деле, вообразим пространственную таутохронную кривую С и рассмотрим цилиндр, проектирующий эту кривую на горизонтальную плоскость. Если развернуть этот цилиндр на вертикальную плоскость, удерживая его образующие вертикально, то кривая С перейдет в плоскую кривую С той же длины, а касательная, составляющая Ft веса точки, не изменится. Вследствие этого движение не изменится, и новая кривая будет таутохроной. Обратная операция позволяет переходить от плоской кривой С к пространственной С. [c.392]

Докажем, что единственной таутохронной кривой для веса в вертикальной плоскости является циклоида. [c.392]

Примем за начало точку таутохронизма на таутохронной кривой, а ось г направим вертикально вверх. Так как заданная сила является весом, то для рассматриваемого случая Х = 0, К = 0, Z — — mg и касательная составляю- [c.392]

Два закона сил. Мы видели, что таутохронная кривая определяется с точностью до постоянных, когда требуют, чтобы таутохронизм имел место отдельно для двух различных законов сил при одной и той же точке таутохронизма для обоих законов. [c.392]

Показать, что задача о таутохроне для случая, когда существует силовая функция, приводится к интегрированию одного дифференциального уравнения с частными производными второй степени н первого порядка. (Кёниге, omptes rendus, 1 мая 189-3.) [c.409]

Ответ. Так как система имеет полные связи и сопротивление качению отсутствует, то достаточно применить теорему кинетической энергии. Движение является таутохронным. [c.132]

Определить, какие новые связи числом e — 1 нужно наложить на систему для того, чтобы полученная таким образом система с полными связями была таутохронной, т. е. чтобы система достигала определенного положения за один и тот же промежуток времени, каково бы ни было начальное положение при условии равенства нулю начальных скоростей. [c.360]

Введем новые связи, делающие систему таутохронной системой с полными связями. Можно всегда предположить, что тогда q , q i,. .., qk выражаются в функции одного параметра q. Единственное уравнение движения новой системы получается из уравнения кинетической энергии [c.360]

Для того чтобы это уравнение определяло таутохронное движение, необходимо и достаточно (п. 213), чтобы функция /(s) имела вид — p"s, где —положительная постоянная. Мы должны, следовательно, иметь [c.360]

Можно, например, сделать задачу определенной, требуя, чтобы система была таутохронной не только по отношению к заданным силам, но и по отношению к k — 2 другим системам сил Z зависящим только [c.360]

Она совершенно не зависит от амплитуды Sq. Колебания циклоидального маятника оказываются, таким образом, вполне изохронными. Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...