Движение таутохронное

Учение об эволютах впервые разработал выдающийся голландский механик, физик и математик XVII в. Христиан Гюйгенс (1629—1695) и применил его к исследованию циклоиды. Он установил таутохронность движения по циклоиде. Гюйгенсу принадлежит изобретение часов с циклоидальным маятником. Он доказал, что часы с обыкновенным маятником (круговым) не могут идти точно, и поставил перед собой задачу определить, по какой кривой должна двигаться точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды (т. е. чтобы время качания не зависело от величины размаха). Такой таутохронной кривой оказалась циклоида. [c.333]

Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным. Одновременно, поскольку период Т не зависит от величины размахов (амплитуды), это движение является изохронным. [c.363]

В этом случае время, необходимое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. тс/2Л. Оно не зависит от х . Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронным. [c.285]

Прямолинейное таутохронное движение. Говорят, что прямолинейное движение является таутохрояяим, если точка, начинающая движение без начальной скорости и находящаяся под действием заданных сил, затратит одно и то же время для достижения определенного конечного положения, каково бы ни было ее положение в начальный момент. [c.297]

Для того чтобы движение было таутохронным, необходимо и достаточно, чтобы Т не зависело от ас , т. е. от Чтобы выразить это, напишем, что производная от Т по параметру равна нулю. Чтобы избавиться от бесконечных членов в выражении этой производной, сделаем пределы не зависящими от гд, положив г — 2оИ-Тогда [c.298]

Следовательно, единственной зависящей только от х силой, вызывающей прямолинейное таутохронное движение, является притяжение, пропорциональное расстоянию. Это движение было рассмотрено выще (п. 211). [c.299]

Равнодействующая сил зависит от положения и скорости тонки. Мы ограничимся для этого случая лишь некоторыми библиографическими ссылками. Лагранж указал (Memoires de Berlin, 1765 и 1770) общий закон силы, при которой таутохронизм будет обязательно иметь место и который как частный случай содержит предыдущий закон. Но, как заметил Бертран, формула Лагранжа не дает всех законов для силы, при которых движение будет таутохронным. [c.299]

Показать, что если закон таутохронного движения входит в формулу Лагранжа, то при присоединении к действующей силе сопротивления, пропорционального скорости, по-прежнему получится таутохронное движение. [c.320]

В прямолинейном движении выразить скорость V в функции х и Хд так, чтобы соответствующее движение было таутохронным. [c.320]

Таутохроны. Выше мы нашли, что движение тяжелой точки по циклоиде является таутохронным. Рассмотрим общий случай движения точки по любой заданной материальной кривой, под действием сил, тоже заданных. Говорят, что кривая является таутохроной, если на ней существует точка О такая, что движущаяся точка, предоставленная самой себе без начальной скорости, приходит в положение О за одно и то же время, каково бы ни было ее начальное положение. Точка О называется точкой таутохроназма. [c.390]

Пусть F X, Y, Z), где X, Y, Z — функции только х, у, z — суть заданные силы. По какой кривой нужно заставить двигаться без трения точку, чтобы движение было таутохронным [c.390]

Допустим, что одна из этих таутохронных кривых найдена, и будем отсчитывать дуги от точки таутохронизма О. Имеем уравнение движения [c.390]

Вдоль кривой координаты х, у, 2 являются функциями дуги 5. Следовательно, X, Y, Z будут также определенными функциями от и в уравнении правая часть р является функцией от 5. Это уравнение будет тогда совпадать с уравнением прямолинейного движения, происходящим по оси О в под действием силы Р , зависящей только от положения точки. Требуется, чтобы это движение было таутохронным. Но мы видели, на основании метода Пюизё (п. 213), что необходимое и достаточное условие таутохронизма заключается в том, что сила Р должна быть вида —где — положительная постоянная. Следовательно, для того, чтобы предложенная кривая была таутохроной, необходимо и достаточно, чтобы [c.390]

Приложения. 1°. Тяжелая точка, движущаяся при отсутствии сопротивления среды и трения. Прежде всего можно свести нахождение пространственных таутохронных кривых под действием веса к нахождению плоских кривых. В самом деле, вообразим пространственную таутохронную кривую С и рассмотрим цилиндр, проектирующий эту кривую на горизонтальную плоскость. Если развернуть этот цилиндр на вертикальную плоскость, удерживая его образующие вертикально, то кривая С перейдет в плоскую кривую С той же длины, а касательная, составляющая Ft веса точки, не изменится. Вследствие этого движение не изменится, и новая кривая будет таутохроной. Обратная операция позволяет переходить от плоской кривой С к пространственной С. [c.392]

Ответ. Так как система имеет полные связи и сопротивление качению отсутствует, то достаточно применить теорему кинетической энергии. Движение является таутохронным. [c.132]

Введем новые связи, делающие систему таутохронной системой с полными связями. Можно всегда предположить, что тогда q , q i,. .., qk выражаются в функции одного параметра q. Единственное уравнение движения новой системы получается из уравнения кинетической энергии [c.360]

Для того чтобы это уравнение определяло таутохронное движение, необходимо и достаточно (п. 213), чтобы функция /(s) имела вид — p"s, где —положительная постоянная. Мы должны, следовательно, иметь [c.360]

Она совершенно не зависит от амплитуды Sq. Колебания циклоидального маятника оказываются, таким образом, вполне изохронными. Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным. [c.192]

Изохронизм (таутохронность) циклоидального движения. Из соображений, развитых в п. 38 о продолжительности колебаний математического маятника, вытекает один вопрос, который в силу исторического интереса заслуживает особого внимания. [c.49]

Изучить циклоидальное движение (п. 42, гл. I), принимая во внимание сопротивление, пропорциональное квадрату скорости, или же сопротивление трения. В случае с трением доказать, что существует с той и другой стороны от вершины М положение таутохронности, т. е. такая точка N, которую тяжелая точка, начинающая двигаться без начальной скорости из любого более высокого положения (расположенного с той же стороны, что и N, по отношению к М), достигает за одно и то же время. Исследовать движение в соответствии с общими выводами 8. [c.79]

Формула (43) показывает, что период гармонических колебаний не зависит от начальных условий движения. Иначе го воря, точка М, отклоненная от начала координат на лго или схо, где с — произвольное действительное число, будет приходить в центр колебаний через одно и то же время. Это свойство гармонического колебательного движения называют таутохронностью. [c.191]

В первом случае стержень в устойчивом положении равновесия проходит через фокус параболы и наклонен к горизонтали. Во втором случае стержень имеет горизонтальное положение. Тогда длина стержня равна фокальному параметру, и колебания не являются таутохронными (см. п. 450). Если стержень начинает движение из состояния покоя при малом его наклонении а к горизонтали, то он примет горизонтальное положение по истечении времени 1 [c.390]

БОЛЬШИЕ ТАУТОХРОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ [c.435]

Если колебания системы не являются малыми, то уравнения движения не всегда возможно привести к линейному виду, и нельзя указать общий способ их решения. Однако колебания все же могут быть таутохронными, и иногда важно установить, имеем ли мы дело именно с этим случаем. В следующих разделах даны общие правила для решения этого вопроса. [c.435]

Если точка совершает колебания по заданной гладкой кривой в пустоте или в среде, сопротивление которой пропорционально скорости точки, то, как известно, колебания около положения равновесия будут таутохронными, если касательная составляющая силы равна Р = m s, где s — длина дуги, измеряемая от положения равновесия, а т — постоянная (п. 434). Следовательно, если задана какая-либо спрямляемая кривая, то сразу может быть определена соответствующая сила, способная вызвать тауто-хронное движение. Так, цепная линия представляет собой тауто-хронную кривую для силы, действующей вдоль ординаты и равной ni y, поскольку касательная составляющая силы, очевидно, есть m s. Логарифмическая спираль будет таутохронной для центральной силы [ХГ, направленной к полюсу, ввиду того, что время достижения полюса будет одинаковым для всех дуг, так как касательная составляющая силы равна m s, где т = [х os а. Аналогично, эпициклоида и гипоциклоида также являются тауто-хронными кривыми для центральной силы, исходящей из центра или направленной к центру неподвижного круга и пропорциональной расстоянию, поскольку касательная составляющая силы, а именно, цг dr/ds, изменяется пропорционально s, так как = = -[- В. Во всех указанных случаях время достижения положения равновесия определяется как наименьший положительный корень уравнения tg nt = —n/k (п. 434), где 2kv — сила сопротивления, и п = т . Полное время движения от одного положения мгновенного покоя до другого равно п/п. [c.435]

Теорему Лагранжа можно доказать следующим образом. Движение из состояния покоя является таутохронным по отно- [c.437]

Влияние сопротивляющейся среды. Если на основе теоремы Лагранжа движение является таутохронным в пустоте, то [c.437]

Положим коэффициент при о равным k тогда после интегрирования находим f (х) = Се - -(- A/k. Если координата х отсчитывается от положения равновесия, в котором на основании теоремы Лагранжа / (х) = О, то должно иметь место А == —k / . Для указанного закона сопротивления получаем следующий результат движение является таутохронным, если приложенная сила дается выражением Р = С — 1). Это согласуется с результатом, указанным Эйлером и Лапласом. [c.438]

Пример 1. Найти такую гладкую кривую, чтобы движение по ней тяжелой точки в среде, сила сопротивления которой определяется выражением 2ки + k v , могло быть таутохронным. Поскольку единственной силой является сила тяжести, то положим [c.438]

Движение точки по шероховатой циклоиде. Тяжелая точка начинает скользить без начальной скорости по шероховатой циклоиде с вертикальной осью симметрии в среде, сила сопротивления которой изменяется пропорционально скорости. Показать, что движение является таутохронным. [c.439]

Следовательно, движение является таутохронным (п. 434). В какое бы положение на циклоиде точка ни была помещена без начальной скорости, она достигнет точки А, определяемой условием ш = О, т. е. "ф = , за одно и то же время. Точка А, в "которой заканчивается таутохронное движение, очевидно, является крайним положением равновесия, в котором предельное значение силы трения в точности уравновешивает силу тяжести. [c.439]

Можно также установить таутохронность движения на основании теоремы Лагранжа. Поступая, как и в п. 491, приравняем коэффициент при величине (х/р. Тогда найдем вид функции / (s), подставляя которую в уравнение, фигурирующее в теореме Лагранжа, приведем его к виду уравнения движения точки по циклоиде. [c.440]

Обозначим через А точку, в которой заканчивается таутохронное движение, М — положение материальной точки в произвольный момент времени t, AM = s, так что дуга s отсчитывается от точки А в направлении, противоположном на- [c.440]

Поскольку Р обращается в нуль, когда "ф = а, то тем самым получена непосредственная проверка теоремы, утверждающей, что точка, в которой заканчивается таутохронное движение, является положением равновесия (п. 489). [c.442]

Эпициклоиды и другие кривые. При условии, что кривая является шероховатой, а сила сопротивления равна 2Аи, приложенная сила представляет собой центральную силу, равную Хг, а период таутохронного движения — заданную величину, доказать, что дифференциальное уравнение кривой имеет вид р = 1р, где I (1 + т%) = 1 + г и X положительно, если сила является отталкивающей. Постоянная т представляет собой функцию периода, величина которого приведена в п. 497. Если сила сопротивления отсутствует, то период таутохронных движений равен я/(2т). [c.443]

Примеры. Пример 1. Система с одной степенью свободы определена функциями 2Т = М д , и = f (9). Доказать, что движение является таутохронным, если и = С М i9). (Положить М dQ = ds я используйте результаты [c.444]

Пример 2. Система с двумя степенями свободы определена функциями 2Г = Ad + 2В9 ф + Сц> и = / (0, ф), где А, В, С — заданные функции 0, ф. Исследуйте ограничение, которое необходимо наложить на систему для того, чтобы ее движение могло быть таутохронным. (Примите допущение Ф = F (0) и используйте пример 1 (Аппель.— omptes Rendus, 1892.) [c.444]

Основной курс теоретической механики. Ч.1 (1972) -- [ c.363 ]

Теоретическая механика Том 1 (1960) -- [ c.285 , c.297 , c.320 , c.321 , c.388 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.79 , c.132 ]

Динамика системы твёрдых тел Т.1 (1983) -- [ c.435 , c.439 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...