Определение Фоккера—Планка — Колмогорова

Составление уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды. Для применения стохастических методов и замены обобщенного уравнения ФПК обычным уравнением ФПК необходимо, чтобы время корреляции флюктуаций возмущений т ор было значительно меньше релаксации Грел амплитуды и фазы процесса колебания на выходе системы < Грел или, что то же самое, время корреляции должно быть мало по сравнению с длительностью переходных процессов в системе. [c.186]

В этом случае эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей будет представлять собой многомерный непрерывный марковский процесс. Совместная плотность вероятностей координат и скоростей должна подчиняться уравнению Фоккера— Планка—Колмогорова, а определение среднего времени, в течение которого изображающая точка достигнет некоторой границы в фазовом пространстве, сводится к краевой задаче для уравнения Понтрягина (1.67). [c.30]

В дальнейшем нас будет интересовать главным образом одномерная плотность распределения амплитуды, так как с помощью этой функции определяются необходимые для расчета вероятностные параметры выхода системы. Вполне возможно определение и двумерной (совместной) плотности распределения амплитуды и фазы и одномерной плотности распределения фазы, но вычисление этих функций, особенно двумерной плотности для переходного процесса, значительно труд нее, так как в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет содержать производные по Л, и ф,-. [c.171]

Отметим, что при нестационарном случайном возмущении функция распределения не может быть стационарной, а при стационарном возмущении функция распределения может быть и стационарной и нестационарной. Так, например, если мы рассматриваем движение системы при стационарном внешнем возмущении в стационарном установившемся режиме, не интересуясь переходным процессом, то функция распределения будет стационарной, а если рассматривается движение системы, начиная с какого-то момента времени, в котором она характеризуется определенными начальными условиями, то функция распределения будет нестационарной, но с течением времени, по мере затухания переходного процесса в системе, она будет стремиться к стационарной. Изучить переходный режим движения системы с помощью уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова затруднительно. В дальнейшем будет показано, что в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет уравнением в частных производных с переменными коэффициентами, для которых общих методов решения пока не существует. В дальнейшем будем предполагать, что внешнее возмущение стационарно и имеет нормальный закон распределения. [c.172]

Перейдем к построению решения в случае нестационарной задачи, когда возникает необходимость в исследовании переходного процесса и связанного с ним определения вероятностных характеристик движения системы. Для решения нестационарного уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова Р. Л. Стратонович рекомендует использовать метод разделения переменных и искать решение в рядах по собственным функциям. Этот классический метод решения уравнений приводит к тому, что нестационарное решение выражается в форме [c.176]

Маркова и для определения их одномерных плотностей вероятности можно составить уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова. [c.198]

Так как флюктуации фазы в этом случае удовлетворяют процессу Маркова, го для определения ее одномерной плотности вероятности Г0 Ь) можно составить уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова. В данном случае это уравнение будет иметь вид [c.201]

Соответствующее уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности логарифма амплитуды будет [c.201]

Наоборот, Ьсли случайная функция X(x,t) является марковской, то для плотности вероятности p(X X,t) — р(Х ф о) (а потому, согласно (10.5), и для средней концентрации дСХ",/)) при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (10.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях регулярности (налагаемых на переходную вероятность p(Xlx,t) и гарантирующих, что рассматриваемая марковская случайная функция X (t) будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные [c.533]

Кроме основных понятий и определений, относящихся к случайным процессам, будут изложены две основные теории исследований динамических систем корреляционная теория и стохастическая теория, связанная с теорией процессов Маркова и уравнениями Фоккера — Планка — Колмогорова. Корреляционная теория обычно используется при исследовании линейных систем с постоянными и переменными параметрами и нeлинeйньfx после предварительной их линеаризации (любым методом), а стохастическая теория весьма удобна для исследования нелинейных и параметрических (линейных и нелинейных) систем. [c.5]

Составим уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (1.92 для определения одномерной функциин распределения амплитуды w Ai) [c.144]

Функцию х(0 считаем случайной функцией времени, статистические характеристики которой заданы. Реальный процесс изменения параметра х(0 заменяем на эквивалентный б-корре-лированный и используем стохастические методы, связанные с составлением уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения функций плотности вероятности искомых величин. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...