Случай динамической системы на сфере

Понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраекторий и траекторий непосредственно переносится и на случай динамической системы на сфере. Мы не останавливаемся па этом ввиду полной очевидности такого перенесения. [c.285]

Таким образом, желая рассмотреть динамические системы на поверхностях, сохраняющих все основные черты плоских систем, мы должны были бы рассмотреть динамические системы на произвольных поверхностях рода нуль. Мы ограничимся только случаем сферы ввиду того, что при этом мы можем использовать элементарные аналитические средства. [c.58]

Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере. Совершенно аналогично случаю системы в плоской области задание динамической системы на сфере может быть интерпретировано как задание векторного поля на сфере. [c.61]

Перспективным является метод математического моделирования процесса распространения механических возмущений в системе, состоящей из большого числа элементарных блоков. Этот метоД при-менен для исследования волновых процессов и динамических напряжений и деформаций в стержнях, цилиндрах и сферах из упругого, упругопластического и упруговязкого материала [28, 38, 39]. Он удобен для решения задач с помощью ЭВМ. Этим методом можно рассчитать напряженно-деформированное состояние тел с произвольными граничными условиями, со сложными реологическими свойствами, анизотропными и неоднородными по объему, с учетом температурных, наследственных и других эффектов. Решение статических задач может быть получено как предельный случай решения соответствующих динамических задач после затухания колебаний. [c.253]

Динамическая система на сфере является частным случаем динамической системы па замкнутой ориентируемой поверхности любого данного рода /с > О ) [15]. Определение всякой такой динамической системы может быть дано полностью аналогично приведенному ниже определению динамической системы на сфере. Однако среди динамических систем на замкнутых ориентируемых поверхностях только динамические системы на поверхностях рода нуль сохраняют все существенные свойства плоских систем только у таких систем отдельные траектории и разбиение на траектории сохраняют тот же характер, что и у плоских систем. Напротив, динамические системы на замкнутых поверхностях более сложной топологической структуры — на ориентируемых поверхностях рода /с 5 1, а также па неориептируемых, обладают пе1 оторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств плоских систем. [c.58]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

Схема динамической системы на сфере. Схема динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре. В главах VIII, X и XI ьш рассматривали динамическую систему в некоторой ограииченной плоской области. Все понятия, которые введены в этих главах, полностью относятся также и к случаю, когда рассматривается динамическая система на сфере в смысле 2. Необходимо только внести некоторые очевидные изменения. [c.497]

Бете в своем варианте проведения программы учета ближних корреляций узлов решетки (H.A. Bethe, 1935 K. Peierls, 1936) частично обошел эту трудность, оперируя только с функциями распределения больцмановского типа. Конечно, это лишь качественный подход, но он привел к успеху. Идея этого подхода заключается в следующем. Рассматриваются какой-либо узел решетки ц и фуппа окружающих его узлов j (в первом приближении Бете — его ближайшие соседи, во втором приближении Бете — его соседи из двух ближайших к нему координационных сфер и т.д.). Вероятность какой-либо конфигурации чисел aj в узлах этой группы определяется конструкцией из больцмановских факторов exp -/(j, ц)/в , учитывающих на равновесно-статистическом уровне динамическое взаимодействие центрального узла io со своими соседями и внешним полем (если оно имеется), а влияние остальных узлов решетки, не входящих в данную фуппу, — как действие некоторого эффективного поля на внешние узлы фуппы. Величина этого поля неизвестна, и Бете, рассчитывая на получение качественного результата, обусловленного наличием ближнего порядка в системе, предложил в качестве дополнительной процедуры определять ее из требования равенства вероятности обнаружить узел решетки в состоянии ai = +1 для центрального узла io и вероятности обнаружить в любом из узлов j окружаю- щей его группы то же значение (Xj = +1. Мы рассмотрим реализацию этой идеи для самого простого случая иЗинговская система, как в п. б), — ферромагнитного типа взаимодействие узлов — только с ближайшими соседями внешнего поля нет первое приближение Бете — центральный узел о, окруженный его ближайшими соседями. , [c.346]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...