Характеристическая функция и средние числа

Продифференцировав характеристическую функцию соответствующее число раз, можно доказать следующие основные свойства гауссовских случайных переменных с нулевым средним [c.46]

Число фотонов внутри полости все время хаотически изменяется. Однако среднее значение числа частиц внутри объема в условиях равновесия должно быть постоянным. Теоретически его можно найти с помощью методов термодинамики. В переменных Т, V и N характеристической функцией для системы является свободная энергия. В состоянии равновесия этот термодинамический потенциал имеет минимум. Поэтому при заданных Т и V макроскопическая характеристика — число частиц (а статистически — его среднее значение) — определяется из условия экстремальности [c.164]

Зная характеристическую функцию, можно легко находить средние величины. Например, среднее число рассеяний при <5-образных источниках [c.238]

Если, далее, система А линейна (например, если система А — это электромагнитное поле — см. гл. 3), то коммутаторы [/, / ] суть с-числа, а средние от [ , /] являются моментами порядка /с — 1, и в результате в левой и правой частях (12) фигурируют моменты одного порядка к, т. е. (12) в этом случае представляет замкнутую систему кинетических уравнений для момента порядка к (иногда удобнее в качестве наблюдаемой < > выбрать характеристическую функцию — см. 4.4). [c.77]

Рассмотрите двухатомную молекулу АВ, состоящую из двух различных атомов Л и В (в случае если А и В одинаковы, возникают усложнения, обусловленные симметрией). Выведите выражение для среднего значения Wr вращательной энергии. Введите в качестве переменной безразмерное отношение х = Тг Т, где Тг = Ь 2к1 (/ — момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно к АВ) есть характеристическая вращательная температура, и рассмотрите ход функции Шг Т). Исследуйте два предельных случая первый для Т <С Тг, когда возбуждено малое число вращательных уровней и целесообразно рассматривать только два первых уровня второй — для Т 3> Тг, когда возбуждено множество уровней. Вычислите относительное число молекул на первых восьми уровнях, когда Т = 10 Напишите выражение для вращательной теплоемкости и определите ее поведение с изменением температуры. [c.380]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

Характеристическая функция и средние числа. Всем величинам, появившимся в предьщуи1 ем пункте, можно дать вероятностное истолкование. Так, если умножить произведение (52) на 2тг<1гдй х, то получится вероятность того, что фотон, рожденный на глубине п в направлении 1Л и частоте. тг, будет испущен в слое толщиной (1г на глубине г в телесном угле 2тг(1/1 около направления ц в полосе частот шириной <1ж около частоты х, испытав ровно п рассеяний. Вероятность излучения после п рассеяний на любой глубине в произвольном направлении и с какой угодно частотой равна интегралу (53). Если просуммировать все такие интегралы (найти сумму по всем п), то получится 1, Такие результаты объясняются именно тем, что выбранные источники соответствуют излучению одного фотона с определенными свойствами в расчете на единичные интервалы. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...