Исследования по эргодичности

Исследования по эргодичности. Дается обзор результатов некоторых математических исследований по эргодичности, необходимых для дальнейшего изложения (стр. 180). [c.13]

С первой группой вопросов связана проблема механического толкования необратимости, в частности все широко известные возражения против больцмановского рассмотрения ZT-теоремы и все до сих пор появляющиеся попытки квантовомеханического решения этой проблемы. Со второй группой связаны исследования по эргодичности, в очень малой степени достигшие той цели, которая ставилась статистической механикой, а именно нахождения эффективного критерия, дающего физическую характеристику систем, которые подпадают под вводимые математические определения. [c.15]

Трудности, связанные с так называемым обоснованием статистики , т. е. установлением связи статистики и механики, сводились, как известно, к двум основным трудностям, имеющим совершенно различную природу во-первых, трудности, связанной с введением в классическую механику вероятностных представлений, составляющих существенную черту статистической физики, например ее основного утверждения — Г-теоре-мы во-вторых, трудности, связанной с необходимостью определять тот вид механических систем, к которым относятся результаты статистики. С первой группой вопросов связаны задачи механического толкования необратимости, все широко известные возражения против больцмановского рассмотрения /Г-теоремы. Со второй группой связаны исследования по эргодичности, в очень малой степени достигшие той цели, которая ставилась статистической механикой. [c.168]

Действительно все попытки ввести вероятностные представления в классическую механику оказались противоречивыми. В частности, противоречивой оказалась и интерпретация ZT-теоремы при помощи знаменитой больцмановской пилообразной кривой. С другой стороны, механическая эргодичность, во-первых, оказалась совершенно недостаточной для целей статистики,— в частности для определения основного понятия — понятия релаксации во-вторых, результаты исследования по эргодичности не представляли возможности дать фи- [c.168]

При значительном удалении от равновесия система теряет эргодичность, и ее фазовое пространство разбивается на кластеры, которые отвечают разным структурным уровням, иерархически соподчиненным друг другу. В 3 проводится исследование распределения системы по уровням иерархического дерева, представляющего пространство с ультраметрической топологией. Приложению развитых представлений к реальному кристаллу посвящен 4, где проводится модификация решеточного преобразования Фурье для иерархически соподчиненных структур. Показано, что адекватное представление такого рода фрактальных структур достигается за счет использования разложения по волнам распределения атомов, модулированным в ультраметрическом пространстве. На основе такого представления удается объяснить ряд экспериментальных данных по структурной релаксации, в ходе которой структурные единицы различных уровней когерентно связываются в единый статистический ансамбль. Исследованию особенностей структурной релаксации в различных системах посвящены 4-8. [c.113]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Полученные формулы можно использовать при интерпретации результатов исследования скважин по кривым изменения забойного давления. При этом следует иметь в виду, что средние, найденные в задаче, вычислены для ансамбля пластов, а проводя исследование реальной скважины, мы имеем дело с одним пластом и, следовательно, сопоставление необходимо проводить в условиях, когда эффективные характеристики статистической модели (ансамбля) имеют непосредственное отношение к аналогичным характеристикам реального объекта. Иными словами, должна существовать своеобразная эргодичность, В нашей задаче это имеет место [c.75]

Все сказанйое до сих пор в этом параграфе относилось к характеристике принципиальных возможностей, предоставляемых классической механикой для интерпретации статистики. Отметим сейчас один хорошо известный недостаток, присущий всем проводившимся до сих пор многочисленным исследованиям по эргодическим системам отсутствие эффективного критерия, который позволил бы судить, принадлежит ли физическая система к тому или иному из математически определяемых классов динамических систем. Это, конечно, не принципиальный недостаток классической механики, а недостаток того направления, в котором до сих пор развивались такие исследования. Даже после исследований Биркгофа в 1931 г. [11] и появления многих замечательных работ, указанный недостаток продолжает сохраняться. В частности, существующие исследования не дают возможности установить не только точную, но и приближенную, качественную связь между теми или иными свойствами эргодичности динамических систем (например, свойствами спектра унитарного оператора движения) и типом гамильтониана. [c.42]

При анализе непрерывных случайных процессов обычно предполагают, что данный процесс относится к категории стационарных эргодическга случайных процессов. Такие процессы характеризуются тем, что одна единственная бесконечная реализация процесса несет всю информацию о его вероятностных свойствах и может быть использована для определения любой его характеристики путем усреднения по времени. С практической точки зрения эргодичность процесса позволяет в ходе исследования одного источника сигнала (одного объекта) получить полное представление о свойствах определенного класса объектов. В этом смысле понятие эргодичности является некоторым эквивалентом понятия представительности выборки в классической математической статистике. [c.465]

При исследовании реализаций 48 молекул в ЛГУ Г-ансамбле в области высокой плотности (т < 1,3) [90] возникают некоторые нарушения эргодичности, состоящие в том, что эти реализации остаются в какой-либо одной более или менее определенной области конфигурационного пространства, четко отделенной от других областей. Были обнаружены три такие области, или гнезда , конфигурационного пространства а) регулярные гексагональные гнезда усреднение по таким гнездам очень хорошо получается с помощью реализаций, в качестве начальных значений которых берется обычная регулярная гексагональная конфигурация (фиг. 4) б) различные гнезда 7 х 7 типа конфигурации = 7 на фиг. 12. Поместить систему в одно из таких состояний можно или путем создания идеализированной начальной кристаллической конфигурации 7 х 7 (см. [90]) или путем сжатия , начиная с верхнего уровня , соответствующего жидкоподобному состоянию, в область промежуточной плотности (см. [90] для метода Г-ансамбля) в) для систем с ТУ = 12 и ТУ = 48 обнаружено гнездо состояний, связанных с регулярной решеткой с координационным числом 4 (фиг. 18). [c.342]

Кажущаяся стохастичность движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической. механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с по-казателялш Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5. [c.18]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...