ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай кратных корней характеристического уравнения из "Курс теоретической механики. Т.2 " Случай кратных корней характеристического уравнения практически встречается редко и не требует применения особых методов иследования. Действительно, если среди корней характеристического уравнения встречается, например, корень кратности т, то т уравнений системы (Ь ) или (о) предыдущего параграфа будут алгебраическими следствиями остальных уравнений. При этом можно определить N — т неизвестных через остальные т, которые могут быть выбраны произвольно. Конечно, эти неизвестные следует выбирать так, чтобы удовлетворялись условия ортогональности. [c.252] Случай кратных корней допускает простую геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве, т. е. тогда, когда число степеней свободы системы равно трем. В трехмерном пространстве уравнение (к) 95 определяет эллипсоид. [c.252] Если характеристическое уравнение имеет двукратный корень, то этот эллипсоид будет эллипсоидом вращения. В случае трехкратного корня эллипсоид, определенный уравнением (к) 95, превратится в сферу. [c.252] что в случае эллипсоида вращения одна ось определяется однозначно, а две другие ортогональные оси могут быть выбраны произвольно в плоскости симметрии эллипсоида, перпендикулярной к первой главной оси. [c.252] Если эллипсоид вырождается в сферу, то ее главными осями являются произвольные взаимно ортогональные диаметры. [c.252] Применяя формулы линейного преобразования (b) предыдущего параграфа и формулы (II. 196), можно найти общее решение системы дифференциальных уравнений малых колебаний в координатах Х . То, что этим способом будет найдено общее решение в координатах ж,-, вытекает из линейности как дифференциальных уравнений движения, так и формул преобразования. [c.253] Существенно подчеркнуть, что и в случае кратных корней уравнения частот закон движения системы определяется через периодические функции времени, ограниченные для всех его значений. [c.253] С этим обстоятельством связано одно ошибочное утверждение Ж. Лагранжа, высказанное им в Аналитической механике . [c.253] Такие члены называются секулярными (вековыми), так как они встречаются в теории так называемых вековых возмущений движения планет. [c.253] Лагранжа была исправлена через 70 лет, в 1858—1859 гг., когда О. И. Сомов и К. Вейерштрасс ) независимо друг от друга обнаружили указанную ошибку. Главное значение имело при этом введение нормальных координат. [c.254] Характеристическое уравнение для этой системы имеет два двукратных корня 1,2 — 1, 7з,, = —1. [c.254] Вернуться к основной статье