Конгруэнция лучей замыкающаяся

Конгруэнция лучей замыкающаяся 71 [c.454]

Если имеется фиксированная замыкающаяся конгруэнция лучей, то задание одного из чисел как следует из равенств (3.12), определит (О, а оставшиеся [ — 1 условий квантования не будут, вообще говоря, выполнены. Пусть у нас не одна замыкающаяся конгруэнция лучей, а /—1 параметрическое семейство [c.77]

Отсюда следует, что радиус каустики ао, соответствующий собственным значениям удовлетворяет неравенству ао <С а, и замыкающаяся конгруэнция лучей покрывает почти весь круг г а ). [c.80]

Вернемся к построению замыкающейся конгруэнции лучей. Совокупность многократно отраженных лучей касатель- [c.89]

Однако существует такая замыкающаяся конгруэнция лучей, что ей соответствуют собственные значения крд, отвечающие значениям р, д, для которых [c.91]

На самом деле метод, развитый в предыдущей главе, применим не только к настоящим замыкающимся конгруэнциям лучей, но и к замыкающимся конгруэнциям, построенным из лучей, которые удовлетворяют уравнению Эйлера и закону отражения лишь в первом приближении. [c.101]

Переходим теперь к построению замыкающейся конгруэнции лучей первого приближения. Такая конгруэнция будет нами построена из устойчивой по первому приближению системы многократно отраженных контуром 5 лучей, которые удовлетворяют закону отражения лишь в главных членах. При этом мы будем опираться на аналогию между рассматриваемой задачей и задачей о собственных функциях шепчущей галереи для круга. [c.107]

Совокупность лучей (1.9) с огибающей (1.14) аналогична системе лучей, многократно отраженных границей круга (см. 4 гл. 3). Поэтому нормальные конгруэнции лучей в рассматриваемом случае строятся тем же способом, что и в случае круга. Однако теперь это будет не точная замыкающаяся конгруэнция, а лишь замыкающаяся конгруэнция первого приближения. [c.108]

Перейдем теперь к построению замыкающихся конгруэнций лучей. Основой для наших построений будет служить совокупность лучей (2.2). Б дальнейшем мы будем считать, что параметры лучей и j при отражении испытывают линейное преобразование (2.5). Таким образом, замыкающиеся конгруэнции, которые мы построим, будут сотканы не из истинных отраженных лучей, а из лучей первого приближения. [c.114]

Теперь мы должны разбить эту совокупность лучей на конечное число нормальных конгруэнций и образовать далее замыкающуюся конгруэнцию лучей. Построим сначала огибающие семейства лучей (2.17). Дифференцируя равенство (2.17) по параметру ц и исключая затем параметр ц, получаем уравнение огибающих в виде [c.116]

Эйконал, соответствующий замыкающейся конгруэнции лучей (4.6), как функция точки на Т находится интегрированием дифференциальной формы (4. 2) и полного дифференциала dQ (см. формулу (4.3)). [c.281]

ЯВНЫЙ вид которых нетрудно получить, используя формулу замены переменных (4.2) и равенства (4.5), (4.6). Фиксируя Л , hl и б1, б2 в формулах (4.14), получаем уравнение луча qi = q s), i= 1, 2, принадлежащего замыкающейся конгруэнции лучей (4.6) с данными Значениями параметров ei, Параметрами, фиксирующими луч, являются в данном случае h и hl. Учитывая, что [c.282]

Условие 2) указывает на аналогию рассматриваемых здесь семейств лучей с замыкающимися конгруэнциями лучей (см. гл. 3). [c.386]

При проведении лучевого метода в малом, в частности при построении замыкающейся конгруэнции первого приближения, особо важную роль играет понятие устойчивости системы лучей по первому приближению. [c.101]

В формулах (2.20) естественно ограничиться главными по х членами, поскольку при построении замыкающейся конгруэнции были использованы лучи, удовлетворяющие закону отражения лишь в первом приближении. Тогда [c.117]

Чтобы получить собственные частоты, инвариантную совокупность лучей следует разбить на две нормальные конгруэнции. Замыкающаяся конгруэнция будет образована криволинейными лучами, идущими от границы 5 к огибающей, и лучами, отходящими от огибающей к границе. В качестве базисных кривых, так же как и в случае постоянной скорости в 1, вы- [c.126]

Основное предположение метода Келлера — Рубинау состоит в том, что асимптотику собственных функций дают лучевые решения, однозначные на некоторых за мыкающихся конгруэнциях лучей. Произвольное лучевое решение, определенное на какой-либо нормальной конгруэнции (входящей в замыкающуюся конгруэнцию), после продолжения по лучам не определяет, вообще говоря, однозначной функции на всем многоэкземплярном Пространстве. [c.73]

Во всех случаях, когда удалось провести методику 1—3, многоэкземплярное пространство оказывалось многомерным тором, а, как хорошо известно, для тора гомологичные контуры можно непрерывной деформацией перевести друг в друга. Как показал В. И. Арнольд [1], в том случае, если число базисных контуров f равно числу измерений пространства, а замыкающиеся конгруэнции лучей образуют / — 1 параметрическое семейство, при некоторых уточняющих предположениях многоэкземплярное пространство обязательно будет многомерным тором. Во всех задачах, которые до сих пор удалось решить, предположения теоремы В. И. Арнольда выполняются. [c.78]

Замыкающаяся конгруэнция лучей, покрывающая кольцо a osas г (см. 2), позволяет найти коротковолновую асимптотику собственных функций круга. Многоэкземплярное пространство здесь представляет собой дважды покрытое кольцо а os а г а, склеенное вдоль окружностей г = а и г = [c.79]

Метод Келлера — Рубинау, описанный в предыдущей главе, применим, если существует замыкающаяся конгруэнция лучей, или, точнее, /—1 параметрическое семейство конгруэнций. Такие конгруэнции удалось пока построить только в том случае, когда переменные в соответствующем уравнении эйконала разделяются в выбранных должным образом криволинейных координатах. Однако если переменные в уравнении эйконала разделяются, то задачу о построении асимптотики собственных функций можно свести к нахождению асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, роль построений 1—5 главы 3 сводится, казалось бы, лишь к интересной геометрической интерпретации асимптотических формул, которые могут быть получены более простым путем. [c.101]

При выполнении условия (2.29) Хр., <1, и, следовательно, огибающая замыкающейся конгруэнщ и лучей расположена вблизи диаметра области, а сами лучи сосредоточены в его малой окрестности. Этот вывод согласуется с нашим исходным допущением о линейном преобразовании лучей при отражениях, которое было сделано при построении замыкающейся конгруэнции лучей. [c.119]

Попытки применить к рассматриваемой задаче метод Келлера— Рубинау сталкиваются с той трудностью, что здесь не удается найти множества замыкающихся конгруэнций лучей, непрерывно зависящего от должного числа параметров (см. гл. 3). [c.278]

Очевидно, огибающая (4.24) имеет две ветви, так что инвариантная совокупность лучей (4.23) ограничена двумя каустиками, для одной из которых г/ > О, а для другой у <0. Точно так же, как и в 2, инвариантную совокупность лучей разбиваем на две нормальные конгруэнции (отличие состоит лишь в том, что вместо прямых лучей мы имеем теперь лучи криволинейные). Две другие нормальные конгруэнции образуем из совокупности лучей, возникающей при отражении первой совокупности и распространяющейся в направлении от точки О к точке С. Склеивая эти нормальные конгруэнции между собой вдоль каустик и участков границы, получаем замыкающуюся конгруэнцию, выстилающую четырехэкземплярное пространство, гомеоморфное тору. Пользуясь формулой (4.23) для инвариантной совокупности лучей, можно найти составляющие Ут на каждом экземпляре пространства. Производя вычисления, аналогичные вычислениям 2, получаем [c.133]

Указание на возможность использовать лучевой метод для построения собственных значений и собственных функций, сосредоточенных вблизи выпуклой границы произвольной области и ее минимального диаметра, содержится в работе Келлера и Рубинау [1]. Для построений Келлера — Рубинау (см. гл, 3) принципиально важным является предположение о существовании замыкающейся конгруэнции истинных лучей, непрерывно зависящей от достаточного числа параметров. Однако даже для плоской задачи в общем случае, как это следует из работ В. И. Арнольда [2], Ю. Мозера [1] и Д. Ш. Могилевского [1], не существует устойчивых ограниченных кау- [c.440]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...