Ляпуновский характеристический

Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется так система с п степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка 2п с периодическими коэффициентами периода Т, имеет 2п линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем каждое из этих решений имеет вид Xi t) = Ф (i) exp(Aii), где Фi(i) — периодическая функция с периодом Т. Экспоненты exp(Aii) называют ляпунов-скими экспонентами, числа — ляпуновскими характеристическими показателями, а Ф ( ) — функциями Флоке. [c.219]

Отметим еще один результат Ю. С. Богданова (1960), продолжающий работы К. П. Персидского и Р. Э. Винограда. Рассмотрим правильную однородную линейную систему дифференциальных уравнений. Сопоставим- ей другую — с периодическими коэффициентами, равными коэффициентам заданной системы на промежутке (О, Г ) и имеющими период У ь. Спрашивается, существует ли такая последовательность значений Г1, Гз,. .., - оо, что предельные значения характеристических чисел построенной системы равны характеристическим числам исходной системы Богданов показал, что существуют системы, для которых такой последовательности нет, но существует ляпуновское преобразование, которое переводит эту систему в другую, для которой такая последовательность есть (для систем двух уравнений указанное преобразование Ляпунова построено эффективно). [c.85]

Кроме того, Дт является ляпуновской величиной, соответствующей одному, равному нулю характеристическому корню (см. гл. 6). [c.87]

Коэффициент аз (в других принятых обозначениях 1) и есть первая ляпуновская величина. В зависимости от знаков величин Ь = О и 1 = О сложный фокус может быть разной устойчивости и по-разному закручиваться (см. рис. 48, 49). При достаточно малых изменениях правых частей, при которых система делается грубой (т. е. действительные части характеристических корней делаются не равными нулю) [c.165]

I. При Я = Яо система имеет сложный фокус первого порядка, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, у которого первая ляпуновская величина Ьх = = аз( ) отлична от нуля. Вводя обозначения [c.227]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Обсудим вопрос о единственности предельного цикла. Рассмотрим границу Ь = между областями II и III. В этой точке корни характеристического уравнения (5.15) чисто мнимые. По формуле из Приложения 1 вычислим первую ляпуновскую величину для системы (5.18) при Ь=Ь (при этом, очевидно, q = 0). Получим [c.141]

Если р = onst, то % (ж) совпадает с ляпуновским характеристическим числом. Как мы отметили выше, различных ляпуновских характеристических чисел для заданной линейной системы п дифференциальных уравнений может быть не бол1ве п. Н. А. Изобов (1964—1966) показал, что множество нижних показателей может быть континуумом. [c.84]

Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траектории. Аналитические выражения для коэффициентов а,- могут быть найдены методом, полностью аналогичным тому, которым находятся ляпуновские величины (см. гл. 3). [c.103]

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями ( -1 = гЬ, к.2 = — 6) и с не равной нулю первой ляпуновской величиной ( 3 = 1= =0). Как было указано (см. 5 гл. 3), в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все полупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекториями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близкой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.165]

В математической литературе в настоящее время при рассмотрении функциональных пространств, а также введенного в гл. 8 пространства динамических систем, используется понятие коразмерность . Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства коразмерность 1 —множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией Ф(ж, г/, г) = 0 с градиентом, не равным нулю коразмерность 2 соответствует трансвер-сальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхностей коразмерность 3 соответствует точке. В ге-мерном пространстве коразмерность 1 задается одним условием—Ф( ь Ж2,. .., ж ) = 0—это гладкая гиперповерхность с числом измерений и—1 коразмерность 2 — гладкая гиперповерхность с числом измерений п — 2 и т. д. Таким образом, в евклидовом пространстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функциональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, говорить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечномерными) ввести понятия гладкое функциональное соотношение , гладкая гиперповерхность , удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого пространства, а также понятие трансверсальное пересечение. Тогда множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению,— это множество коразмерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих п функциональным соотношениям, определяющим п гладких гиперповерхностей, пересекающихся трансверсально,— множество коразмерности п. Пусть у динамической системы х — Р, у = Q есть единственный негрубый элемент — простое состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозможные системы х = Р, у = Q, близкие к данной, на которые накладывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование Р + = 0)> то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперповерхности коразмерности 1 в пространстве динамических систем ( гладкость этой поверхности устанавливается с использованием понятия обобщенный градиент ). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат, напри- [c.182]

Утверждение 11.5. Точка границы области устойчивости соответствующая паре чисто мнимых корней характеристического уравнения принадлежит безопасному участку, если первая ляпуновская величина этой точке отрицательна при этом согласно утверждению 11.4 переход пространстве параметров в область неустойчивости приводит к мягком режиму возникновения автоколебаний. Если же при а = оСр Z/, > О, то точк Ир принадлежит опасному участку границы. [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...