Динамические системы на сфере

Динамические системы на сфере [c.58]

Введение. В настоящем параграфе дается определение динамической системы на сфере и устанавливаются некоторые ее основные свойства. [c.58]

Определение динамической системы на сфере. Будем дл.ч простоты предполагать, что рассматривается сфера, расположенная в трехмерном пространстве Дз [c.58]

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ 59 [c.59]

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ 61 [c.61]

Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере. Совершенно аналогично случаю системы в плоской области задание динамической системы на сфере может быть интерпретировано как задание векторного поля на сфере. [c.61]

Решения и траектории динамической системы на сфере. Определим, что называется решением динамической системы на сфере. Сделаем сначала некоторые предварительные замечания. [c.61]

Ц,гЗ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ 63 [c.63]

Для решения r=f (t) динамической системы на сфере справедливы также предложения, аналогичные леммам 1—5 1. В частности, например, если r F t) — решение, определенное на интервале (а, Р), то r=F (i -f- С) такл е является решением, определенным на интервале (а — С, р — С). [c.63]

Траекторией динамической системы на сфере называется множество точек на сфере, определяемое уравнениями х = (г), у = f-, (t), z -- /3 (t) или эквивалентным векторным уравнением г = /< (i). Каждому рси енню соответствует вполне определенная траектория L. Решение, которому соответствует траектория L, будем, как и в случае динамической системы на плоскости, называть решением, соответствующи.ч данной траектории. [c.63]

Теорема 7. Каждая траектория на сфере является целой траекторией, т. е. всякое решение динамической системы на сфере определено для всех значений I от —оо до - -со. [c.65]

В силу теоремы 6 динамическая система на сфере определяет разбиение сферы на траектории, причем в силу теоремы 7 все траектории являются целыми. [c.66]

Теорема 10. а) Всякая траектория системы (I), заданной в плоской области G, нигде не плотна в G. б) Всякая траектория динамической системы на сфере нигде не плотна на сфере. [c.106]

Теорема 17. Всякая динамическая система на сфере имеет по крайней мере одно состояние равновесия. [c.118]

Замечание 2. Возникает вопрос, определяют ли системы (I) и (А) динамическую систему на сфере в смысле 2. Мы имеем дело с простейшей системой координат на сфере, определяемой покрытием, состоящим из двух элементов, и описанной в дополнении, 7. Уравнения (1) относятся к первому элементу покрытия (сфера без северного полюса), а уравнения (А) — ко второму. Очевидно, динамическая система на сфере [c.240]

Нетрудно убедиться в том, что рассматриваемая на сфере Пуанкаре динамическая система так же, как и рассматриваемая на сфере Бендиксона, не является динамической системой на сфере в смысле 2. В частности, точка, двигаясь на траектории, может стремиться к особой точке на экваторе ири г, стремящемся к конечному значению. [c.245]

В настоящей главе для определенности рассматривается динамическая система иа плоскости. Однако все введенные в пей понятия и предложения полностью справедливы и в случае динамической системы на сфере. [c.257]

Понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраекторий и траекторий непосредственно переносится и на случай динамической системы на сфере. Мы не останавливаемся па этом ввиду полной очевидности такого перенесения. [c.285]

Леммы 2, 5 и 7 справедливы и в случае динамической системы на сфере. Имеет место также следующая теорема, доказательство которой проводится так же, как и доказательство теоремы 42. [c.290]

Теорема 43. Число ячеек динамической системы на сфере в случае конечного числа особых траекторий конечно. [c.291]

В случае динамической системы на сфере рассуждение проводится несколько иначе. Именно замкнутая траектория L делит сферу на две односвязные области. В каждой из этих областей в силу теоремы 16 заведомо должно лежать хотя бы одно состояние равновесия, т. е. точка особой траектории. [c.302]

В следующей главе, рассматривая конкретные примеры, мы по преимуществу будем рассматривать динамические системы на сфере Пуанкаре и при зтом будем пользоваться не табличной записью схемы, а схематическим рисунком, как более понятным и обозримым. [c.498]

Рис. 22. Динамическая система на сфере Пуассона

ТЕОРЕМА 6.5. Всякая динамическая система на сфере 5 обладает хотя бы одной точкой покоя. [c.22]

Заметим также, что система (6.35) является динамической системой на касательном расслоении к двумерной сфере. [c.255]

Таким образом, желая рассмотреть динамические системы на поверхностях, сохраняющих все основные черты плоских систем, мы должны были бы рассмотреть динамические системы на произвольных поверхностях рода нуль. Мы ограничимся только случаем сферы ввиду того, что при этом мы можем использовать элементарные аналитические средства. [c.58]

Динамическая система на сфере является частным случаем динамической системы па замкнутой ориентируемой поверхности любого данного рода /с > О ) [15]. Определение всякой такой динамической системы может быть дано полностью аналогично приведенному ниже определению динамической системы на сфере. Однако среди динамических систем на замкнутых ориентируемых поверхностях только динамические системы на поверхностях рода нуль сохраняют все существенные свойства плоских систем только у таких систем отдельные траектории и разбиение на траектории сохраняют тот же характер, что и у плоских систем. Напротив, динамические системы на замкнутых поверхностях более сложной топологической структуры — на ориентируемых поверхностях рода /с 5 1, а также па неориептируемых, обладают пе1 оторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств плоских систем. [c.58]

Если V — динамическая система на сфере и — какая-нибудь область сферы, отличная от всей сферы в целом, то система В в области g эквивалентна динамической системе в плоской области. В самом деле, всегда можно ввести такое координатное покрытие сферы, чтобы область g целиком лежала в одной и той же области покрытия. Для этого достаточно выбрать точку не принадлежащую области g, и ввести на сфере простейшее координатное покрытие, описанное выше, с помощью стереографических проекций с центрами в точке N и диаметрально нродивоположной точке N. В. случае когда не только сама область g, ио и ее замыкание g отлично от всей сферы в целом, то, очевидно, динамическан система В в замкнутой области g сферы эквивалентна динамической системе в замкнутой плоской области. [c.60]

Сделаем еще одно замечание, касающеесн аналитических динамических систем. Аналитическая динамическая система на сфере однозначно и полностью определена. [c.60]

Принимая во внимание правила замены переметшых и соотношения вида (18), нетрудно убедиться в том, что решение динамической системы на сфере не зависит от выбора координатного покрытия сферы. Из теоремы 1 1 (о существовании и единственности решения) и самого определения решения динамической системы 1Ш сфере неиосредственио вытекает следующая теорема [c.63]

Таким образом, получается следующая кинематическая интерпретация динамической системы на сфере и ее решений, не связанная пи с какими координатами на сфере динамическая система — заданное на сфере поле касательных пекторов [c.64]

Рассмотрим теперь целую (ограпиченпую) траекторию динамической системы (I) или траекторию динамической системы на сфере. [c.103]

Доказательство. Пусть Ь — произвольная траектория динамической системы на сфере, — ее предельный континуум. Либо содержит состояние равновесия, и тогда теорема доказана, лпбо Кц, есть замкнутая траектория (см. теорему 14). Две области, на которые эта траектория разбивает сферу, гомеоморфны плоским областям. Поэтому в силу предыдущей теоремы в каждой из этих областей лежит по крайией мере одно состояние равновесия. Теорема доказана ). [c.118]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

В настоящей главе рассматривается лишь динамическая спстема с конечным числом особых траекторий, а при этом в плоской ограниченной области имеющей нормальную границу. Однако к рассмотрению такой системы моЯ но свести и рассмотрение всякой динам ическо11 спстемы на сфере, имеющей конечное число особых траекторий. Это может быть сделано, например, следующим образом всякая динамическая система на сфере пмеет по крайней мере одно состояние равповесия. В силу предположения о конечном числе особых траекторий все состояния равновесия у рассматриваемых динамических систем изолированные. Пусть О — одно [c.453]

ИЗ них. Рассмотрим каноническую окрестность О. Каноническвя кривая о, входящая в границу такой окрестности, очевидно, является нормальной границей и делит сферу на две области, каждая пз которых может быть (например, с помощью стереографическо11 проекции) отображена на плоскую область с нормальной границей. Таким образом, рассмотрение динамической системы на сфере сводится к рассмотрению систем в двух плоских областях с нормальной границей. [c.454]

Схема динамической системы на сфере. Схема динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре. В главах VIII, X и XI ьш рассматривали динамическую систему в некоторой ограииченной плоской области. Все понятия, которые введены в этих главах, полностью относятся также и к случаю, когда рассматривается динамическая система на сфере в смысле 2. Необходимо только внести некоторые очевидные изменения. [c.497]

Таким образом, полностью аналогично может быть рассмотрена схема динамической системы на сфере. Эта схема может задаваться как таблгщей, так и схематическим рис шком. Очевидно, в схеме динамической системы на сфере отсутствует схема грангщы области . [c.497]

В случае, когда динамическая система, определенная на плоскости, рассматривается на сфере Пуанкаре, мы также можем совершенно аналогично рассматривать схему динамической системы на сфере Пуанкаре . При этом мы должны рассматривать схему экватора . Не останавливаясь подробно на этом вопросе, представляюш,емся довольно простым, отметим все же, что для написания схемы экватора нужно 1) указать, является ли зкватор предельным циклом или нет, и в случае, когда он является предельным циклом, указать, является ли он оо- или -предельным, и указать все стремящиеся к нему особые траектории 2) указать все лежащие на экваторе состояния равновесия в случае, когда экватор не является предельным циклом, и указать полные схемы всех этих состояний равновесия. [c.498]

Топологическая структура динамической системы. Мы дадлм определение топологической структуры динамической системы в открытой плоской области, совпадающе с областью определения системы или представляющей ее часть. Точно так же можно определить топологическую структуру динамической системы на любо.и подмножестве М области ее определения, в частности, в замкнутой ограниченной области С, а также на сфере. Для этого нужно только в приводимом определении слова в области С заменить соответственно словами в замкнутой области 1 или на сфере и т. д. [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...