Общее выражение для Ар в ортогональных координатах

Для получения общих выражений составляющих деформации а ортогональных криволинейных координатах oi, аз и аз рассмотрим две точки упругого тела [c.234]

Полагая это выражение равным нулю, получим общее уравнение неразрывности в ортогональных криволинейных координатах, специальные случаи которого уже исследованы в 83, 103, 107. [c.186]

Для решения поставленной задачи выберем несколько систем отсчета Во-первых, используем ортогональный лабораторный базис л , у, г. В этом базисе целесообразно записывать окончательные выражения и соответствующие операции в терминах инженерной механики пластичности, например конфигурационные тензоры деформаций г и напряжений усредненные по характерным объемам V, включающим большое количество малых участков (объемов кристалла, в которых реализуется каждый конкретный элементарный акт деформации или разрушения. Во-вторых, применим кристаллофизический базис, задаваемый тремя некомпланарными единичными векторами и, v, w, который в общем случае условимся считать косоугольным, а в практических расчетах — близким к ортогональному. В кристаллофизической системе координат такие свойства удобно выражать как тепловое расширение и упругую податливость. Справочные сведения о подобных характеристиках обычно представляют именно в кристаллофизическом базисе. В-третьих, будем широко пользоваться различными локальными базисами (которые в общем случае можно считать и неортогональными), выбирая их каждый раз так, чтобы форма записи соответствующих физических законов реализации процесса была предельно простой и понятной по содержанию. Так, если деформация осуществляется кристаллографическим сдвигом по плоскостям с нормалью п в направлении /, условимся задавать ее в базисе I, т, п, где направления I, т я п образуют тройку единичных ортогональных по отношению друг к другу векторов. Примером другой локальной системы отсчета может служить базис а, Ь, с, в котором удобно записывать условия раскрытия трещин отрыва. При этом условимся орт а ориентировать вдоль направления сдвига, инициирующего отрыв (например, по схеме Стро [2П), а вектор с — вдоль нормали к плоскости трещины. Понятно, что в этой схеме тройка единичных векторов а, Ь, с не обязательно образует ортогональный базис, а орт а может совпадать с ортом I из локальной системы сдвига. Однако базис целесообразно брать все же ортогональным. [c.9]

В табл. 3.13 приведев функционал (ср. а, е), в котором не выполнено ковариантное дифференцирование. Чтобы получить окончательную развернутую форму, которая представляет в общем случае криволинейных ортогональных координат громоздкое выражение, необходимо воспользоваться формулами дифференцирования (Приложение 2) и выразить ф(, через физические компоненты. [c.98]

Наконец, пользуясь (10) и (9), напищем еще общее выражение Д.1Я оператора Лапласа в любой ортогональной системе криволинейных координат [c.391]

Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня. В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин, прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия, записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс. В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами, препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8. [c.352]

Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат. Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются ортогональными, и если ограничиться только ортогональными преобразованиями, то тензоры, определенные таким образом, называются декартовьши тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом. Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантньши компонентами, и поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...