Гауссова кривизна и изгибание поверхностей

Теперь можно с новой точки зрения посмотреть на второе из равенств (1.5.5) или (1.5.7), т. е. на уравнение Гаусса. Из него вытекает, что К полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы. Это чрезвычайно важное положение возвращает нас к затронутому в 1.1 понятию об изгибании поверхностей. Эта деформация характеризуется тем, что первая квадратичная форма поверхности остается неизменной, и можно теперь сделать вывод, что при изгибании поверхности остается неизменной также и ее гауссова кривизна, хотя главные кривизны, конечно, будут меняться. [c.22]

Важным является понятие изгибания поверхности. Это такая ее деформация, при которой не меняются ни расстояния, ни узлы (т. е. сохраняется метрика). Пример — изгиб плоскости в цилиндрическую поверхность. Изгибание характеризуется постоянством ковариантных компонент ар. Теорема Гаусса (1.16) показывает, что кривизна К не меняется при изгибаниях. [c.215]

Если одна гладкая поверхность может быть получена из другой путем изгибания первой, то в соответствие с теоремой Гаусса полные кривизны этих поверхностей в соответствующих точках совпадают. Другими словами, гауссова кривизна 0 ( ) является инвариантом изгибания поверхности Д и Поэтому она может [c.60]

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы Г1, Гг и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой а р и бар, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно полная кривизна поверхности выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности и к при изгибании меняются по отдельности, а величина К=к к2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не про-извольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями [c.30]

Таким образом, все изгибания полной сферы зависят от трех комплексных, или, что то же, от шести действительных констант. Это будут так называемые тривиальные изгибания, т. е. смещения сферы как жесткого целого, что легко проверить прямыми вычислениями при помощи формул (4.27.9). Отсюда следует хорошо известное утверждение о окесткости (неизгибаемости) полной сферы. Оно является частным случаем классической теоремы Гаусса о жесткости овалоида (произвольной достаточно гладкой замкнутой поверхности всюду положительной кривизны). [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...