Метод подобия при качественном анализе дифференциальных уравнений

Метод подобия при качественном анализе дифференциальных уравнений [c.44]

Очень широкое распространение в механике и физике получили так называемые автомодельные решения, характеризующиеся существованием некоторых комбинаций независимых переменных (автомодельных переменных), которые соответствуют опре деленным свойствам подобия или инвариантности рассматриваемых классов физи ческих решений. Методы анализа размерностей физических величин, определяющих задачу, позволили [8] осуществить понижение размерности для весьма широкого круга физических и механических задач. Особенно эффективным в конструктивном плане оказалось в ряде ситуаций сведение сложной исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой в качестве независимой переменной высту пает автомодельная переменная. Это позволило получать классы точных решений в замкнутой форме, например, знаменитое решение газодинамической задачи о точечном взрыве [8], и осуществить качественный и детальный количественный анализ важных задач в неинтегрируемых случаях. [c.17]

Применение теории подобия к расчетам теплообмена конвекцией. Как уже упоминалось, методы теории подобия широко используются при анализе и расчете конвективного теплообмена. Так, если известны дифференциальные уравнения, описывающие какой-либо процесс (или параметры, оказывающие наиболее существенное влияние на его протекание), то, пользуясь изложенными выше методами теории подобия, можно получить функциональную связь между критериями, дающую качественное и количественное представление о данном процессе. [c.71]

Отправным пунктом вычислительного эксперимента является физико-математическая модель. Прежде чем переходить к построению численных алгоритмов, ее необходимо исследовать, так как для выбора наиболее эффективных методов численного решения задач большую роль играет знание основных закономерностей изучаемых явлений. При исследовании математической модели используются все традиционные методы и средства, которые включают в себя отыскание аналитических решений в частных случаях, построение асимптотик, применение теории размерностей и подобия [75] и т. д. Значительную помощь в получении информации об изучаемом процессе может оказать анализ инвариантных решений, вид которых определяется из теории групповых свойств дифференциальных уравнений [48, 63]. Наиболее распространенными типами инвариантных решений являются автомодельные решения и решения типа бегущих волн. Автомодельные решения позволяют дать качественную картину отдельных сторон исследуемых процессов. Следует отметить, что при учете большого числа физических эффектов класс автомодельных решений существенным образом ограничен. Однако несмотря на это их свойства зачастую характерны и для более общих случаев. Они могут дать достаточно широкую информацию о сложных нелинейных процессах и позволяют установить зависимости характерных величин от различных параметров задачи. Автомодельные решения представляют собой также хорошие тесты для отработки методов численного интегрирования. Сопоставление результатов расчетов с известными решениями позволяет судить о точности разностных схем, скорости сходимости и т. д. Поэтому построение тестовых решений, в том числе автомодельных, представляет собой необходимый элемент в общей программе конструирования численных методов. Следует подчеркнуть, что при выполнении [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...