Якоби пространственным переменным

В свете результатов, изложенных в предыдущем разделе, теперь можно несколько иначе описать метод Гамильтона — Якоби. Ранее этот метод рассматривался как средство для решения задач с помощью перехода к новым каноническим уравнениям, в которых все переменные являются интегралами движения. Такая интерпретация была дана Якоби. Другая точка зрения, которую впервые предложил Гамильтон, состоит в том, чтобы рассматривать 5 как функцию, которая преобразует начальные значения пространственных координат д[ при / = 0 в их значения для момента 1. Таким образом, она описывает изменение системы во времени. [c.102]

Обращение в нуль G происходит тогда, когда существует интеграл Якоби или вообще какой-нибудь однозначный пространственный интеграл. Пусть / (xi, Х2, Хп, fi) есть такой интеграл. Частную производную df/dXr обозначим через /г- Предположим, что ас = а не является стационарной точкой функции / (зс 0), т. е. не все производные (а 0) равны нулю. Тогда в силу (21.1.9) и (30.7.13) т — i первых производных /г (а 0) не могут все равняться нулю, и, расположив переменные в определенном порядке, мы всегда мон<ем считать, что [c.615]

Важно, что существует класс распределенных систем, для которых нахождение вероятностных распределений (одноточечных, двухточечных и т. д.) может быть проведено в рамках сравнительно простого аппарата уравнений в частных, а не вариационных производных. В частности, это относится к классу систем (10.1), содержащих производные по пространственным переменным лишь 1-го порядка. Для таких систем, как увидим, вероятностные распределения удовлетворяют кинетическому уравнению в частных, а не вариационных производных, но большей размерности [68] (см. также [69]). Это, однако, становится затруднительным (если не невозможным) при включении в функцию Р в (10.1) зависимостей от производных д Р1да порядков к > 1. Отметим, что модели вида (10.1), содержащие лишь первые цроизводные от и по х, довольно типичны. Класс (10.1) включает, например, уравнения Гамильтона — Якоби, уравнения волн в приближении геометрической оптики и т. д. [c.148]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...