Оптические лагранжевы

Пример. Уравнение эйконала = 1 определяет послойно квадратично выпуклую гиперповерхность в пространстве кокасательного расслоения риманова многообразия. Следовательно, решения уравнения Гамильтона-Якоби (У ) = 1 определяют оптические лагранжевы подмногообразия. [c.49]

Всё же случается, что оптические лагранжевы особенности имеют некоторые специальные глобальные свойства, не присущие произвольным лагранжевым особенностям. [c.49]

Лемма. Характеристики послойно выпуклой гиперповерхности, содержащей оптическое лагранжево подмногообразие, не касаются критического множества лагранжевой проекции. В точках гладкости критического множества определено касательное поле направлений оно совпадает с полем ядер лагранжева отображения в точках типа 3. [c.50]

Для описания топологических ограничений на типичные оптические каустики и их перестройки в 3-пространстве рассмотрим поверхность критических точек лагранжевой проекции оптического лагранжева 3-многообразия. Эта поверхность имеет простые (квадратичные) конические особенности в точках, где лагранжево отображение имеет особенности типа >4 в остальных местах (в точках типа А ) она является гладкой. [c.50]

Пусть Р[х,д) обозначает оптическое расстояние от точки х (когерентного) источника света на гладком многообразии до точки д многообразия наблюдения. Фазы волн на многообразии наблюдения определены (согласно принципу стационарной фазы Френеля) лагранжевым многообразием (рис. 14) [c.26]

Определение. Лагранжево подмногообразие пространства лагранжева расслоения называется оптическим, если оно лежит в гиперповерхности, которая трансверсально пересекается с каждым слоем по квадратично выпуклой в слое гиперповерхности. [c.49]

Следствие 1. Компоненты каустик лагранжевых особенностей в виде блюдца (блина) в оптическом случае невозможны. [c.50]

Полный список оптических перестроек каустик в 3-пространстве содержит семь оптических метаморфоз (приведённый выше список (произвольных) лагранжевых метаморфоз содержит одиннадцать топологически различных метаморфоз, если пренебречь ориентацией оси времени). [c.50]

В оптической теории мы должны различать три случая. Рассмотрим касательный конус к поверхности критических точек в точке типа Это — невырожденный квадратичный конус в 3-пространстве (в касательном пространстве к лагранжеву подмногообразию). Ядро проекции на базу лагранжева расслоения в точках типа является [c.50]

Из невозможности появления летающей тарелки при перестройке оптической каустики в 3-пространстве следует невозможность появления губ при перестройке плоской оптической каустики. Чеканов доказал также, что компонента типа губы глобально невозможна для односвязной лагранжевой поверхности. [c.52]

Остается, впрочем, возможность оценки, снизу числа точек возврата каустик (огибающих системы нормальных к кривой геодезических) римановых метрик (или, более общим образом, числа сборок на оптическом лагранжевой многообразии, см. [18], [39]). Для получения такой оценки достаточно доказать некоторый аналог неравенства Беннекена для контактных структур в полнотории S XD . [c.226]

Проверка общей теории особенностей и перестроек каустик с помощью лазерной оптики (Дж.Най и Дж.Хэннай [77]) привела к открытию некоторых новых и интересных топологических свойств оптических лагранжевых особенностей (Ю.В.Чеканов [78]). [c.49]

Оптические лагранжевы подмногообразия образуют довольно узкий подкласс в классе всех лагранжевых подмногообразий. Тем не менее, все устойчивые особенности лагранжевых отображений допускают оптическую реализацию. Более того, типичные оптические лагранжевы особенности совпадают с типичными (произвольными) лагранжевыми особенностями (см. [79], [199], [200] и результаты И.А.Богаевского, 1989). [c.49]

Прммер. Эйлерова характеристика гладкого компактного множества критических точек лагранжевой проекции типичного оптического лагранжева подмногообразия равна нулю [78]. [c.49]

Эйлерова характеристика х компактной критической поверхности некоторой оптической лагранжевой проекции (имеющей только особенности А,, и 1)4) даётся формулой Чеканова [c.52]

Определение. Каустика называется оптической, если она является множеством критических значений проектирования на конфигурационное пространство такого лагранжева подмногообразия фазового пространства, которое лежит на гиперповерхности Н(р,д)—0, пересечение которой с каждым слоем кокасательногр расслоения строго выпукло. [c.106]

Не все каустики лагранжевых отображений реализуются хак оптические. Например, как доказал Ю. В. Чеканов [91], не реализуются оптически каустики, изображенные на рис. 51 ( губы Тома и блины Зельдовича). [c.106]

Тем самым оптически реализуются ие все типичные метаморфозы особениостей в однопараметрических семействах каустик общих лагранжевых отображений (это первым заметил Най [197]), хотя сами особенности реализуются и все (Гукенхеймер, [168]). Общая теорема Чеканова, описывающая топологические препятствия к оптической реализации в трехмерном пространстве, такова. Рассмотрим множество критиче- [c.106]

Мы опишем пять приложений классификации лагранжевых особенностей к методу стационарной фазы (то есть к теории интегралов быстро осциллирующих функций), к вычислению асимптотик числа (целочисленных) точек решёток в типичных больших гладких областях, к космологической теории крупномасштабной структуры Вселенной и к изучению перестроек оптических каустик и ударных волн. [c.31]

Замечание. Теории Чеканова ( 2.4) и Богаевского ( 2.5) говорят о том, что вложение лагранжева многообразия в послойно выпуклую гиперповерхность налагает строгие топологические ограничения. Это наводит на мысль о том, что оптическая топология довольно существенно отличается от общей симплектической топологии (см. также [86]-[89]). [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...