Вейля Шредингера КПС

Это соотношение называется формой Вейля представления Шредингера канонического перестановочного соотнощения для системы с одной степенью свободы. С некоторыми из его обобщений мы уже встречались в гл. 2. Основное преимущество такой формы состоит в том, что она содержит лишь унитарные операторы и, таким образом, позволяет уйти от ответа на довольно сложные вопросы относительно области существования операторов, возникающие в том случае, когда мы имеем дело непосредственно с Р и р. Но форма Вейля обладает и [c.292]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...