Операторная топология

Идея введения на Й сильной топологии вместо подражания слабой операторной топологии получила сильную поддержку в работе Сигала [356], и, по-видимому, уместно привести здесь весьма четко сформулированные Сигалом аксиомы. [c.75]

Равномерной топологией называется топология, индуцированная на (Ж) операторной нормой. Ее также называют иногда сильной операторной топологией или метрической топологией множества 33(Ж). Именно такую топологию мы рассматривали до сих пор, когда говорили о ЗВ(Ж) как о С -алгебре. [c.149]

Сильной (операторной) топологией называется самая слабая топология на Ъ(Ж), для которой отображения В->ВЧ, действующие из 3 (Ж) в Ж (последнее снабжено своей сильной топологией), непрерывны. Базис окрестностей для этой топологии получают, рассматривая все множества вида [c.149]

Слабой (операторной) топологией называется самая слабая топология на Ь(Ж), для которой отображения В- ВЧ, действующие из 33 (Ж) в Ж (последнее снабжено своей слабой топо- [c.149]

Э ) = 9 . Подмножество 9 алгебры 31, ассоциированное с этой 2 -алгеброй, представляет собой набор всех последовательностей в 31, сходящихся в слабой операторной топологии. [c.191]

Условимся говорить, что п 2->8( ) есть а-представление 2 -алгебры I,, если я — представление ее С -алгебраической структуры и л (2) 9 (Ъ(Ж)), т. е. л (/ ) сходится к я (Я) в слабой операторной топологии, если Н , есть а-сходящаяся последовательность в Е. [c.191]

Поэтому представление л непрерывно на Д ( с) и допускает расщирение по непрерывности до представления банаховой алгебры с инволюцией Д] (< с). Итак, для каждого элемента R A (S ) справедливо неравенство (I л (Р) < РЦ] (которое, впрочем, тривиально, поскольку Д ( с) — банахова алгебра с инволюцией). Чтобы учесть условие непрерывности г , сосредоточим внимание на множестве Р (Ж с) всех невырожденных представлений алгебры Л1 (S ), для которой представление л непрерывно по А, е Р в слабой операторной топологии [c.305]

Условие, определяющее пространство не только играет важную роль при установлении общей всюду плотной области определения операторов а (/) и а (/) при любой функции f е но и позволяет сделать следующий интересный вывод, которым мы тут же воспользуемся, чтобы лучше разобраться в ситуации, возникшей в случае модели Ван Хова (гл. 1, 1) отображение /- (/), действующее из в 8(0 <Жу), непрерывно, если пространство [ ] снабжено топологией, ассоциированной с нормой / (п ( ) + 1) I/у Р, а пространство 23(0 5 у) снабжено своей сильной операторной топологией. [c.341]

Доказательство. Прежде всего воспользуемся тем, что Зл ( ) есть замыкание в сильной операторной топологии множества всех конечных линейных комбинаций вида [c.366]

Тем самым искомая сходимость в слабой операторной топологии доказана. [c.367]

Здесь линия, идущая вверх от одной топологии к другой, означает, что первая слабее второй. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что на ограниченных подмножествах множества Ъ Ж). а) сильная топология совпадает с ультрасильной и б) слабая топология совпадает с ультраслабой. Отметим также, что отображения А->-АВ (где элемент В фиксирован ) и В->АВ (где элемент А фиксирован ) непрерывны во всех пяти топологиях, но (если не считать равномерной топологии) отображения (Л, В)- АВ не являются непрерывными )- Кроме того, отметим, что отображение Л->Л непрерывно в равномерной, ультраслабой и слабой операторной топологии, но не является непрерывным ни в сильной, ни в ультрасильной топологии. На этом мы закончим наши предварительные замечания о пяти топологиях. [c.151]

Ж = 17 е ЗИ, Ч " е Ж . Тогда Ш" есть замыкание в Ъ Ж) алгебры ЗИ относительно слабой операторной топологии, ультраслабой топологии, сильной операторной топологии и ультрасильной топологии. [c.152]

Примечания. Всякая алгебра фон Неймана 3 содержит тождественный оператор и, стало быть, удовлетворяет предположению теоремы. Так как, по определению, = мы на основании теоремы заключаем, что алгебра фон Неймана Ш замкнута относительно слабой операторной топологии и, следовательно, относительно любой из пяти топологий, введенных выше на Зд Ж). В частности, любая алгебра фон Неймана замкнута относительно сильной топологии, индуцированной нормой, и является С -алгеброй. На основании только что доказанной теоремы мы заключаем также, что всякая -подалгебра алгебры 23( ), содержащая тождественный оператор и замкнутая относительно слабой операторной топологии (сильной операторной топологии, ультраслабой топологии или ультрасильной топологии), есть алгебра фон Неймана. Итак, мы имеем ряд альтернативных определений алгебры фон Неймана. Заметим далее, что если VI — алгебра фон Неймана, — множество всех ее операторов проектирования и ( ) — множество, порожденное [c.152]

Теоремы 9 и 10, а также отмеченные нами следствия (в частности, утверждение о том, что всякая алгебра фон Неймана, наделенная слабой операторной топологией, порождается своими операторами проектирования) служат краеугольными камнями многих приложений алгебр фон Неймана. В связи с тем что нас интересует проблема аксиоматической формулировки квантовой теории, заметим, что фон Нейман [438] исходил из абстрактной йордановой алгебры с дистрибутивным симметризованным произведением А о В и пытался воспроизвести основные свойства слабой операторной топологии при помощи топологии т, удовлетворяющей следующим аксиомам [c.153]

Читатель помнит, что в п. 4 мы подчеркивали необходимость различать в общем случае сети и последовательности и что (опять же в общем случае) подмножество 9 топологического пространства X замкнуто лишь при условии, что для каждой сети х на сходящейся к л е Ж, точка х принадлежит подмножеству 9 . Это утверждение справедливо, в частности, для слабой операторной топологии на 8(<3 ). Итак, мы говорим о новой, секвенциально слабой операторной топологии, когда называем подмножество 8 Ж) а-замкнутым в том и только в том случае, если для каждой последовательности Я из Я , сходящейся в слабой операторной топологии к элементу Я из 33 (<3 ), элемент Н принадлежит подмножеству Я . (Напомним [320, п. 84], что всякая последовательность сходящаяся в слабой операторной топологии, с необходимостью является равномерно ограниченной.) Для любого множества 5 в Ъ Ж) обозначим через о 9 ) сг-замыкание этого множества [т. е. наименьшее сг-замкнутое подмножество в Ъ(Ж), содержащее 9 ]. Определим конкретную 2 -алгебру Ш как С -алгебру операторов, действующих в гильбертовом пространстве Ж, такую, что [c.191]

В этом можно убедиться непосредственно. Во-первых, перенесем (эта операция тривиальна) отображение а с С -алгебры на ее универсальное представление. и , которое точно. Возникающий при этом Йорданов -автоморфизм а взаимно непрерывен в слабой операторной топологии на (Э ) и, следователы о, может быть продолжен по непрерывности до замыкания множества (5Н) в слабой операторной топологии, т. е. до универсальной обертывающей алгебры фон Неймана С -алгебры Ш. [c.203]

Доказательство. Прежде всего заметим, что абелевость алгебры фЯф(81) Е эквивалентна абелевости алгебры Е п (Э1)" ф. Кроме того, всякое конечное произведение элементов из Яф(Э1) и и 0) можно привести к виду зТф(/ ) /ф( ), а поэтому Э ф ф совпадает с замыканием (в сильной операторной топологии) множества с,Яф (У г) /ф (ё г) ф = СгЯф (/ /) Е . Следовательно, [c.232]

Доказательство. По теореме Неймана о плотности ( 1, теорема 10) алгебра Я плотна в бикоммутанте Ш" в сильной операторной топологии. На основании теоремы Капланского о плотности [77, гл. 1, 3, п. 5, теорема 3] мы можем заключить отсюда, что единичный шар SKj в 8i плотен в единичном шаре 8i" в 8i" в сильной операторной топологии. Поскольку единичный шар 8i" по предположению метризуем в этой топологии, мы можем для любой пары R, S элементов из 9ii найти две последовательности и S элементов из Sij, которые сходятся к У и S в сильной операторной топологии. Следовательно, в этой топологии а [/ п] сходится кй<[/ ] и [/ ] сходится к S ti [/ ] Таким образом, последовательность [c.259]

Доказательство. Поскольку пространство сепарабельно, бикоммутант Я(p(8i)" допускает счетное разложение ), и поэтому [77, гл. 1, 3, п. I, предложение 1] единичный шар в Лф(0 )" метризуем в сильной операторной топологии. Таким образом, следствие 1 сразу же вытекает из теоремы 10, если вспомнить, что Яф(91), /ф (К) — ковариантное представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, Ф — циклический вектор, соответствующий состоянию ф в этом представлении, (ф X) = (Ф, ХФ) для всех X е (Я)" и щ [X] С/ф (1) Хи [—1). [c.260]

Из принятой нами формы канонического перестановочного соотношения следует, что всякое конечное произведение членов вида и (а,) У (Ь ) можно представить в виде и а)У (Ь). Поэтому 2В, есть -алгебра с единицей, сильное замыкание которой совпадает с 2Б". Отсюда мы можем заключить, что в Ш" существует счетное всюду плотное семейство элементов, а именно 2Во-КИМ образом, алгебра фон Неймана ЗВ" сепарабельна в сильной операторной топологии. Если представление и а), ]/ Ь) а, е неприводимо, то каждый вектор Ф евЖ цикличен относительно 2В" и, следовательно, относительно ЗВо- Поскольку же [c.297]

Поэтому (ф V (6)) = О, если только Ь 0. Если же 6 = 0, то (ф У(0))=1. Рассмотрим теперь для каждого 6eR вектор ф(й) = Т/ ,(6)Ф, где Ф — циклический вектор, ассоциированный с состоянием ф. Имеем Ф(6)Р=1 и (Ф (бО, Ф(йг)) = 0, если ф 2- Таким образом, замкнутое линейное многообразие, натянутое на векторы Ф(й) 6eR и совпадающее с содержит непрерывный ортонормированный базис, т. е. пространство несепарабельно. Следовательно, мы в явном виде построили представление, которое противоречит заключению второй части теоремы 5. Это означает, что по крайней мере одно из допущений теоремы 5 не выполняется для данного представления. Действительно, однопараметрическая группа Уф (й) не является слабо непрерывной по Ь, поскольку, например, величина (Ф, Уф(й)Ф) = (ф У (й)), как уже отмечалось, перестает быть непрерывной при й = 0. В то же время оператор и а) по теореме 5 из гл. 2, 2 непрерывен по а в слабой операторной топологии. Так как по теореме 5 из гл. 2, 2 вектор Ф инвариантен относительно группы и а) , то [c.299]

По самому построению циклические представления 2Вф, полученные в теореме 7, обладают тем свойством, что отображения Я е К -> 7 (Я/) е 58 и Я е К -> 7 (Я ) е 23 непрерывны в сильной операторной топологии для любых фиксированных функций I п д из ё . Как мы только что заметили, топологию в пространстве ё можно вводить по своему усмотрению. Нужно лишь выяснить, нет ли какой-либо топологии, более естественной, чем другие, и если это так, то можно ли получить какие-либо результаты, рассматривая пространство снабженное наиболее естественной топологией. В этой связи Хегерфельдт и Клаудер [169] ) доказали ряд интересных результатов, на которых мы сейчас очень кратко остановимся. Метрика, определяемая соотношением [c.313]

В силу чего t не принадлежит области (R ) (что явствует, например, из теоремы Пэли — Винера). Из этого простого замечания и из теоремы 1, приведенной в гл. 1, 1, следует ), что если мы определим локальную алгебру Ш ( 2) как замыкание по норме (или как замыкание в слабой операторной топологии) в пространстве Жр И) алгебры, порожденной операторами и ( ), V (д) 1, е (й) , то эволюция во времени (/)/ = W (/<) будет выводить локальные наблюдаемые за пределы алгебры квазилокальных наблюдаемых. Таким образом, в этом случае эволюцию во времени нельзя определить как автоморфизм алгебры квазилокальных наблюдаемых 2В = [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...