Борель

Подставляя (4. 7. 7) в (4. 7. 5) и (4. 7. 6) п применяя теорему Бореля о свертке функций [59], без труда получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции 7 (р, х) [c.160]

НУЛЬ - ЕДИНИЦА ЗАКОН - совокупность теорем вероятностей теории,утвер)кдающих, что для определенных условий вероятность события может быть равна либо 1, либо 0. Так, если (д) последовательность независимых испытаний и при любом п событие Л определяется исходами испытаний с номерами, большими п, то может быть либо н пем, либо единицей. Наибольшую известность получила гемма Бореля-Кантелли если - независимые события, то вероятног ь наступления бесконечного числа этих событий равна 1 при и равна О при Р А )=со. Н - Е 3 используется в предельных теоремах вероятностей, а также в математической статистике ( последовательный анализ, распознавание образов). [c.46]

Однако опыт передовых предприятий нашей страны, широкое применение системы бездефектного изготовления продукции у нас и за границей доказали всю несостоятельность такого контроля в решении задач оперативного регулирования качества. Как отмечает Г. Борел [8], эффективность стопроцентного контроля по существу — иллюзия, так как он не может обеспечить стопроцентное качество из-за неизбежных погрешностей при контроле. Опыт применения СБИЛ наглядно подтверждает, что измерение и контроль должны представлять собой не эпизодические, изолированные действия какого-то контролера, а составлять неотъемлемую часть самого производственного процесса и осуществляться самим рабочим у станка [34, 76]. В сочетании со статистическими методами контроля, как наиболее действенными и объективными в своевременном выявлении отклонений от заданных параметров качества и установлении их причин, контроль качества изделий самими рабочими, несмотря на сохранение его пассивной формы, позволяет значительно повысить достоверность информации и оперативность при решении задач регулирования качества продукции. [c.80]

Применяя обратное преобразование, находим (оригинал второго слагаемого определяется по теореме Бореля) [c.300]

Э. Борель [122] независимо от Г. Беннета и Р. Брикара исследовал перемещения неизменной фигуры, при которых различные ее точки описывают сферические траектории. В своем труде Борель установил различные случаи такого движения и исследовал, в частности, тот, который характерен, для механизма Беннета. [c.80]

IX. Теорема умножения (свертывания, Бореля) [c.46]

Температуропроводность 55 Теорема Бореля 46 [c.726]

Бокштигеля — Салтыкова метод 186 Бора магнетон 143 Бореля закон 392 Бронза алюминиевая 280 [c.475]

Теорема Бореля о свертке для фурье-преобразований [226] позволяет вычислить фурье-образ инфракрасной волны на входной грани нелинейной среды после диафрагмы. Используя (3.47) [c.73]

Вывод общей формулы, описывающей одновременное действие на АК установки и НК линии многих факторов, основывается на вычислении свертки (1.15) АК дефекта Л (у) с функцией Эри в виде (1.17). Как видно из формулы (1.17), свертка каждого члена ряда с АК осуществляет фурье-преобразование. Если формирование АК обусловлено двумя или несколькими факторами, то он сам является сверткой АК соответствующих дефектов. Согласно теореме Бореля, фурье-преобразование от свертки нескольких функций равно произведению фурье-образов Этих функций. Следствием этой теоремы является то обстоятельство, что в формулах типа (1.18) (АК при параболическом дефекте) или типа (1.77) (случайный дефект изготовления зеркал), в которых соответствующий АК ИФП представлен в виде ряда Фурье, при добавлении новой причины, формирующей АК, под знаком суммы появляется новый сомножитель. Этот сомножитель есть коэффициент Фурье в разложении в ряд Фурье АК, обусловленный добавляемым нами фактором. Так, например, при расчете влияния на АК конечного размера круглой выходной диафрагмы под знаком суммы в формулах (1.18) или в (1.77) появляется сомножитель Aj (23xna4). Такой подход [c.69]

Переходя к безразмерному виду выражений (8.16)-(8.25) и используя операционный метод, находим решение поставленной задачи для малых значений критерия Fo в изображениях. Затем, применяя теорему Бореля и используя [c.277]

В исследовательских задачах, когда интерес представляют температурные поля в первые часы твердения свежеуложенного монолитного бетона, ту же задачу можно решить другим способом, чтобы избежать использования в формулах (8.39)-(8.40), (8.42)-(8.43), (8.53)-(8.54) большого числа членов рядов, т.е. при малых промежутках времени, когда критерий Fo < 0,5, решение системы дифференциальных уравнений (8.44)-(8.50), полученное в изображениях, путем ряда преобразований можно представить в виде нескольких сумм произведений, состоящих из изображений функций, являющихся табличными, либо функциями, к которым применима теорема Бореля [73]. Для такого случая получим температуру в покрытии в виде [c.285]

В статистической физике понятие размешивания, повиди-мому, появилось впервые у Гиббса [7]. Но у Гиббса не было дано общего определения этого понятия и роль представления о размешивании сводилась к иллюстрации (при помощи известного примера с перемешиванием краски) взглядов Гиббса на необратимость. В дальнейшем это понятие встречалось у Пуанкаре [2, 3], особенно подчеркивавшего его важность для применения вероятностных представлений (см. 18). В курсе Бореля [8] это понятие нашло систематическое применение. Однако до сих пор не был выяснен вопрос о связи размешивания и динамических свойств реальных объектов статистической механики, а также не было дано доказательства необходимости размешивания для применимости статистической механикц. О первом вопросе говорится в гл. VI. Краткое доказательство (подробнее см. гл. V и VI) необходимости размешивания дано ниже. [c.26]

Указанная последней формулой связь энтропии и величины области фазового пространства (т. е. вероятности состояния) устанавливается общеизвестным путем для так называемых квазиравновесных состояний системы, т. е. таких состояний, при которых система может быть разделена на части, находящиеся сами по себе во внутреннем равновесии. Затем эта формула может быть, как известно, обобщена и на любые неравновесные состояния систем. Получающееся при этом обобщение /самого понятия энтропии проводится в полном соответствии с представлениями Больцмана (см., например, курс статистической механики Бореля [8] или изложение этого вопроса у Планка [5], [6]). Такое обобщение, в частности, может удовлетворить той части критических замечаний Фаулера [9], которая сохраняется, если, с самого начала определить энтропию как А 1пДГ. [c.27]

Указанное свойство статистических систем, тесно связанное с их принадлежностью к системам размешивающегося типа, определяется тем, что их механические траектории в фазовом пространстве обладают сильной неустойчивостью поэтому отклонение двух траекторий, как можно показать для примера идеального газа, возрастает со временем по экспоненциальному закину (см. диссертацию). Это свойство фазовых траекторий отмечалось Борелем. Например, как показывает простой расчет, аналогичный расчету, приведенному в диссертации, присутствие в системе, образованной атомами граммолекулы идеального газа (находящегося, допустим, в нормальных условиях), одного лишнего атома, или наличие внешнего (хотя бы только гравитационного) поля, происходящего от одного находящегося рядсм с рассматриваемой системой атома, совершенно изменяет траекторию системы. Уже через время порядка десяти времен свободного пробега распределение скоростей молекул будет независимым от того, которое было бы без возмущения. Распределение будет независимым в том смысле, что при определенном, получающемся без возмущениЯ векторе полной скорости системы в 3 -мерном импульсном пространстве, этот вектор при наличии возмущения может быть направлен в импульсном пространстве под любым углом к невозмущенному вектору в зависимости от того или иного действия возмущения (действие возмущения определяется тем или иным сочетанием микросостояния системы и параметров, задающих возмущение, в данном случае — положение возмущающего атома). [c.88]

По лемме Бореля о покрытиях тогда существует такое k (а), что для любого X А можно указать nt k (а), обладающее свойством Г "Л А(а) вытекает Это и доказы- [c.32]

Дал<е если бы мы могли работать с бесконечно большим числом значащих цифр ( ), в наши расчеты надо было бы включить все частицы Вселенной. Действительно, согласно Борелю (см. разд. 5), перемещение на один сантиметр одного грамма вещества на не слишком далекой звезде (скал<ем, Сириусе) приводит к изменению типичной силы, действующей на молекулу, большему произведения этой силы на 10 и если мы не захотим включить в наши вычисления все частицы Вселенной ( ), то снова возникнут трудности, указанные в предыдущем пункте. [c.10]

Э. Борель, которому принадлежат эти соображения [5, 6], добавил следующее интересное замечание. До сих пор мы предполагали, что неопределенность содержится только в начальных данных, в то время как дифференциальные уравнения движения точно известны и разрешимы. Это означает не только то, что нам точно известны законы взаимодействия между любыми двумя частицами, но также и то, что мы включаем в дифференциальные уравнения движения силы, действующие на частицы нашей системы со стороны любых других масс Вселенной и способные существенно изменить движение. [c.34]

Уравнения (2.100) могут быть приведены, согласно теореме Бореля о свойствах свертки, к виду [c.118]

Итак, задача должна быть совершенно конкретная и классическая — интеграция дифференциальных уравнений. Это весьма характерное мнение для основоположника общей теории функций. Можно указать ряд мест в письмах, из которых видно, что Вейерштрасс весьма мало придавал значения общим положениям, не относившимся непосредственно к большим классическим конкретным задачам . Впрочем, последний факт мы обнаружили в сочинениях большинства математиков XIX века — у Клейна, у Пуанкаре, у Пикара и даже позднее у Гильберта. Время теорий функций вообще , как она расцвела, например, в монографиях коллекции Бореля, тогда еще не пришло. [c.18]

Конечно, все эти замечания весьма интересны, особенно если мы учтем тот характер беспредметности, который приобрели эти исследования, например, в последних выпусках коллекции Бореля, в работах Монтеля, самого Бореля, а также в некоторых работах Ландау и многочисленных Funktionetheoretiker ХХ-го века. [c.19]

Пусть S — малое положительное число. Так как область D ограничена и G Г D, то существует о > О такое, что при всех S < So круги радиуса S с центрами в точках множества G лежат в D. Рассмотрим покрытие области G кругами Ks радиуса S < So с центрами во всех ее точках. Из этого бесконечного покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Действительно, заменяя круги Ks их внутренностями niKs, получим открытое покрытие множества G. Так как G компактно, то по теореме Гейне-Бореля из этого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие Int, . .., Int. Очевидно, что круги ..., целиком покрывают область G. [c.18]

Условия существования решения. Скорость сходимости ряда (28.7) существенно зависит от выбора гамильтониана нулевого приближения Нд. Иногда ряд удается суммировать, т.е. представить в терминах известных функций. В некоторых случаях ряд оказывается асимптотическим. Для суммирования таких рядов можно использовать методы Паде и Бореля, которые позволяют восстановить решение (28.1) в определенном интервале по нескольким первым членам и асимптотике при п -> оо [162, 199]. [c.304]

Поэтому при больших величины Тг сначала уменьшаются, а затем возрастают, то есть ряд расходится. Однако, как показал М. Берри, эту сумму можно оборвать на некотором подходяш,ем члене и просуммировать расходяш,ийся остаток ряда методом Бореля. В результате приходим к представлению [c.692]

Соотношение (7) известно под названием теоремы умножения изображений или теоремы Бореля (доказательство этой теоремы будет дано в 9). [c.486]

Теорема Эфроса. Эфрос доказал важную теорему, из которой как частный случай вытекает теорема Бореля. Если Р (в) есть изобра жение функции х), т. е. [c.486]

Таким образом, получаем теорему Бореля L-> [f 1 (s) F, (s)] = f A (6) /, (X - 6) 6 = I (6) Д (X - 6) d6 = [c.508]

В случае п = 2, т. е. в случае двух тел, соответствующие уравнения вида (3) элементарно интегрируются в квадратурах. Полученш.1е анали-Т1гческие выражения позволяют сделать исчерпывающие заключения о возможном характере движен1ш, а также найти расположение тел в любой данный момент времени по заданным начальным условиям. Картина сразу же неизмеримо осложняется, когда мы переходим к п = 3 — проблеме трех тел - и тем более к п > 3. Как выразился французский математик Борель — в небесной механике, как в счете дикарей, много — равняется трем . [c.13]

Теорема Гейне — Бореля. Из всякого покрытия компактного множества Р с Е можно выделить конечное покрытие. [c.521]

Можно, очевидно, рассматривать не только конечные покрытия сферы, по также покрытия, состоящие из бесконечного числа областей. В силу теоремы Гейне — Бореля из всякого такого покрытия можно выделить конечное покрытие. [c.548]

Чтобы понять теорему и природу ее применения, необходимо прежде всего упомянуть меру (Бореля-Лебега), то есть вероятность в смысле схематически описанном Пуанкаре в третьем томе его Новых методов в небесной механике . Ограничимся случаем отрезка прямой единичной длины с координатой ж, О ж 1. Предположим, что имеется конечное множество нeпepe eкaюп иx я интервалов общей длины I < 1. Вероятность (в определенном интуитивном смысле) того, что точка, взятая наугад, лежит на одном из этих интервалов, равняется I, а вероятность того, что она лежит в дополнении этого множества, очевидно, 1 — [c.349]

Если Т Х Х — гомеоморфизм компактного метрического пространства, то естественную о-алгсбру образуют борелев-ские множества. Вероятностная мера на этой о-алгебре называется борелевской вероятностной мерой. Обозначим М(Х) множество борелевских вероятностных мер на X, а Мт-(А ) — подмножество иивариантных мер, т. е. )л М/-(Х), если [c.10]

Определение П 6.6. Пусть X — сепарабельное локально компактное хаусдорфово пространство и В — сг-алгебра борелевских множеств, т. е. сг-алгебра, порожденная замкнутыми множествами. Тогда мера Бореля — это такая мера fi, определенная иа В, что fi B) <оо для компактных множеств В. [c.716]

Главное свойство борелевских мер состоит в том, что они регулярны, т. е. для каждого В бВ мы имеем — inf fi(0)) В СО открыто = supifi(ii) К С В компактно . Кроме того, каждая непрерывная функция / X ->R измерима по Борелю, т. е. прообразы открытых множеств измеримы по Борелю, и для каждого компактного множества К имеется такая вложенная последовательность / еи неотрицательных непрерывных функций с компактным носителем, что / - Хк поточечно, где Хк характеристическая функция К. Из сепарабельности X следует сепарабельность меры для каждой точки х из счетного плотного подмножества рассмотрим счетную совокупность открытых окрестностей с такими компактными замыканиями 8,у, что П = xj . Тем самым определен базис. Кроме того, каждый атом является точкой, [c.716]

Конструкция диффеоморфизмов Аносова на нильмногообразиях принадлежит Смейлу [310], который отмечает вклад Бореля. [c.734]

Указанное равенство известно как теорема Бореля. [c.63]

Из преобразования Эфроса (13.18), справедливого при условиях (13.15), теорема Бореля (13.7) вытекает как частный случай. Действительно, при 3 (р) = р т (13.15) следует, что [c.65]

Применим к формуле (3.23) теорему Бореля. Мы получим [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...