Инвариантное Морса

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого mсистемы Морса—Смейла, а при-закритических — принадлежат Я. [c.152]

Следствие. Рассмотрим произвольную деформацию семейства d, то есть двупараметрическое семейство v уравнений с параметрами е, ц, которое при ц = 0 совпадает с d. Тогда малому ненулевому значению параметра ц соответствует однопа-раметричесое семейство v , (с параметром е) и значения (ц) и + ц) такие, что при < (ц) все уравнения семейства задают системы Морса—Смейла при 8> +(ц) все уравнения семейства имеют инвариантный тор (ц)->-Опри (рис. 57). [c.152]

Исследуем теперь окрестность семейства d в функциональном пространстве. -В силу структурной устойчивости систем Морса—Смейла каждое из полей при е<0 имеет окрестность, состоящую из систем Морса—Смейла. При е>0 каждое из полей Уе имеет окрестность, состоящую из полей с инвариантным (п—2)-мерным тором. Это следует из теоремы Феничеля, поскольку показатель притяжения к инвариантному тору Ис при 8>0 положителен, а показатель сближения траекторий на торе равен нулю. Теорема доказана. [c.155]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Аттракторы и наборы Морса. Замкнутое инвариантное множество А топологической ДС называется аттрактором (буквально — притягивателем ), или асимптотически устойчивым множеством, если оно обладает следующими свойствами [c.206]

Конечная упорядоченная (посредством номеров) система Ль. .., Лг попарно иепересекающихся замкнутых инвариантных подмножеств называется набором Морса если [c.207]

Пересечение конечного числа изолированных инвариантных множеств является изолированным инвариантным множеством, а объединение — необязательно. Аттракторы и репеллеры (а значит й множества Морса п. 2.1) являются изолированными инвариантными множествами. Множество цепно рекуррентных точек (п. 2.2) может не быть изолированным. Если Л—. изолированное инвариантное множество ДС то у любой [c.211]

Если изолированное инвариантное множество А является дизъюнктным объединением изолированных инвариантных множеств Ах и 2, то А(Л)== А(Л1)УЛ(Лг). Для гиперболической иезакрз) енной замкнутой траектории с индексом Морса а > 1 гомотопический индекс равен 2 /2 "Ч Когда же а Ц=1, то гюедставителем А ( ) может служить (5 и Хо), где лго 5 (Это отличается от частного случая предыдущей формулы при й= Ь 2 /2о меет представителя (5- илео, д 1)г где Х1б5Ч) Для гиперболической закрученной замкнутой траектории I с индексом Морса и (который неизбежно >2) [c.215]

А. III. 3.2. Замечание. В предложении А. III. 2.2 мы предполагали, что проекция я имеет ранг 1, и потому мы обязаны исключить из рассмотрения критические значения, которые может иметь сама проекция я. Эти критические значения обладают тем свойством, что вещественные слон Yt, определенные по разные стороны от них, имеют различные гомотопические типы (теория Морса [25]). Поэтому неудивительно, еслн эти критические значения окажутся непреодолимыми с точки зрения почти вещественных интегралов, т. е. если вещественные слон, определенные по разные стороны, не будут связаны никаким комплексным обходом (рнс. 46). Чтобы уточнить эту мысль, рассмотрим невырожденную квадратичную критическую точку индекса k. Забывая о наличии подмногообразий S., можно поставить задачу о том, чтобы связать классы гомологий ht Hn(Yt), определенные вещественными слоями по разные стороны критического значения, с помощью малого комплексного обхода. Эта задача, очевидно, инвариантна по отношению к комплексному сопряжению если такой обход существует, то комплексно сопряженный обход также приведет к целн. Следовательно, классы гомологий ht [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...