Большой канонический ансамбль эквивалентность каноническому ансамблю

Интересно сравнить термодинамические равенства (1.3.82) и (1.3.89), выведенные для различных равновесных ансамблей. Заметим, что они совпадают только в случае N) = N. Таким образом, возникает вопрос о термодинамической эквивалентности статистических ансамблей, поскольку некоторые величины могут флуктуировать в одном ансамбле и иметь фиксированные значения в другом. Например, количество частиц фиксировано в каноническом ансамбле и флуктуирует в большом каноническом ансамбле. С другой стороны, из термодинамики известно, что все термодинамические потенциалы эквивалентны в том смысле, что один потенциал может быть получен из другого с помощью замены переменных — так называемого преобразования Лежандра. В статистической механике этому соответствует замена одного ансамбля другим, требующая обоснования. Вопрос о термодинамической эквивалентности ансамблей Гиббса мы рассмотрим в разделе 1.3.9, где будет показано, что в большинстве случаев различные ансамбли эквивалентны, поскольку флуктуации аддитивных динамических переменных в этих ансамблях относительно малы и ими можно пренебречь в термодинамическом пределе. [c.65]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентности большого канонического ансамбля и канонического ансамбля. Их эквивалентность тривиальна, если почти все системы в большом каноническом ансамбле имеют одно и то же число частиц. Поскольку все системы имеют в точности одинаковый объем, это означает, что флуктуации плотности малы. Найдем вначале те условия, при которых флуктуации плотности действительно малы. [c.185]

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ И БОЛЬШОГО КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ [c.187]

Чтобы завершить исследование эквивалентности канонического и большого канонического ансамблей, необходимо рассмотреть значения V, для которых дP/дv = 0. Будет показано, что в этом случае функция W (Л/), определяемая соотношением (8.39), уже не имеет острого максимума тем не менее уравнение состояния, полученное на основе большого канонического ансамбля, все еще согласуется с тем, которое получается в случае канонического ансамбля. В этом смысле два указанных ансамбля всегда эквивалентны. [c.187]

Этот набор переменных соответствует большому каноническому ансамблю, где заданы только средние значения энергии и числа частиц. С термодинамической точки зрения обе формулировки эквивалентны. [c.62]

Исследуем теперь свойства большого канонического ансамбля. Убедимся в его эквивалентности каноническому ансамблю, показав, что флуктуации числа частиц около среднего значения малы. Расчеты проводятся совершенно аналогично предыдзш] ему случаю. Исходя, как и прежде, из условия нормировки [c.156]

Как видно из формулы (12.52), относительная флуктуация Э1 ргии системы в термостате не будет малой тогда, когда дП/д оо (бесконечно большая теплоемкость), и аналогично из формулы (12.55) видно, что относительная флуктуация не будет малой при (dP/dV)e, jv O (нулевая величина коэффициента устойчивости). Это имеет место-, как известно из термодинамики, в критическом состоянии и в двухфазных системах. В этих случаях канонические ансамбли не эквивалентны. [c.208]

Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения. [c.22]

В гл. 4—6 мы изложили основной метод равновесноЁ статистической механики. Коротко идею этого метода можно сформулировать следующим образом. Исходя из принципа равных априорных вероятностей, можно сконструировать определенное число равновесных ансамблей. Из них наиболее важны канонический и большой канонический ансамбли в термодинамическом пределе они становятся эквивалентными. Затем демонстрируется, что нормировочные множители — статисттеские суммы, соответствующие этим ансамблям,— содержат всю информацию, необходимую для вычисления термодинамических величин. Следовательно, проблема равновесной термодинамики сводится к вычислению статистической суммы. [c.254]

Автор называет функциями состояний (partition fun tion) величины Q, Q, 3, т. е. статистический вес для микроканонического ансамбля и статистические суммы для канонического и большого канонического ансамблей Гнббса. В русской литературе обычно избегают употребления термина функции состояний в этом смысле, но мы оставили его в переводе, так как не существует эквивалентного русского термина, объедн-няющего величины 2, Q н S. — Прим. ред. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...