Отображение с соударениями

Рис. 3.3. а — Модель динамики частицы, отскакивающей от периодически колеблющейся стенки б — отображение Пуанкаре как функция шГ (то<12т) для задачи с соударениями, показанной на рис. 3.3, а и описываемой уравнениями (3.2.8). [c.81]

В случае осциллятора с соударениями, изображенного на рис. 4.12, имеются три удобные переменные, описывающие его состояние координата х, скорость V, а также фаза возбуждающего сигнала ф = ш/. Если измерения проводятся в том положении, когда масса наталкивается на упругий ограничитель, то отображение Пуанкаре составляется набором значений (и, ш / ), где и — скорости до или [c.141]

Мы получаем естественное отображение А подмножества этого тора на себя состояние непосредственно после отражения от Г переходит в состояние непосредственно перед перед следующим соударением о Г. [c.230]

Модель невзаимодействующих частиц, ведущая к их скоплению на каустиках лагранжевых отображений, пренебрегает эффектами от соударений или рассеивания близлежащих частиц. Например, в одномерном случае зта модель позволяет частицам проходить друг сквозь друга. [c.53]

Составление уравнений движения. Уравнения (2), (4) описывают основные два типа движений рассматриваемой механической системы со связями (1) безударные перелеты и соударения. Недостаток такого описания состоит в разнотипности уравнений одно из них дифференциальное, другое — разностное. Априори, сугцествуют два способа унификации переход к дифференциальной либо к разностной форме. Традиционным является второй из этих способов, ас-социируюгцийся с построением точечных отображений типа отображений Пуанкаре ([9, 29, 37, 44, 67, 81] и др.) При этом, как правило, в качестве сечения выбирают поверхность удара (предполагается, что система подчинена единственной односторонней связи) [c.242]

Рис. 1.2. а — Движение шарика после нескольких соударений с бортами бильярдного стола эллиптической формы. Это движение можно описать дискретным набором чисел (5-, ф.), называемым отображением б — движение частицы в паре потенциальных ям под действием периодического возбуждения. При определенных условиях частица периодически перескакивает слева (Ь) направо (К) и обратно ЬКЬК... или ЬЬКЬЬК... и т. д. При других условиях перескоки хаотичны, т. е. последовательность символов Ь и К неупорядочена. [c.13]

В консервативных системах хаотические орбиты стремятся однородно заполнить все части некоторого подпространства в фазовом пространстве другими словами, они характеризуются однородной плотностью вероятности в ограниченных областях фазового пространства. Поэтому бездиссипативные системы имеют другие отображения Пуанкаре, чем системы с диссипацией. Тем не менее по-прежнему применима такая мера расхождения близких орбит, как показатели Ляпунова. Примером бездиссипативной системы является шарик, подскакивающий на упругом столе, причем стол движется и предполагается, что при соударениях не теряется энергия, т. е. они упруги. Эта задача подробно разбирается в гл. 5. [c.71]

Читателям, заинтересовавшимся моделью тепловой конвекции Лоренца, следует прочитать ее подробное обсуждение в посвященной этой проблеме монографии Спэрроу [178]. Гукенхеймер и Холмс [57] написали современную математическую книгу, основанную на четырех парадигмах современной динамики, уравнении Ван дер Поля, модели Дуффинга изогнутого стержня, системе Лоренца и аттракторе Энона. Еще одна классическая модель хаотической динамики — масса под действием внешних соударений, например шарик, подскакивающий на колеблющемся столе или отскакивающий от пары стенок. Эта модель находит применение в теории ускорения электронов в электромагнитных полях, и ее иногда называют моделью ускорения Ферми. Она описывается двумерным отображением, аналогичным отображению Энона. Хорошее обсуждение модели Ферми и системы Лоренца можно найти в книге Лих-тенберга и Либермана [110]. [c.75]

Задачи с соударениями приводят непосредственно к разностным уравнениям или отображениям, которые при определенном выборе параметров часто обнаруживают хаотические колебания. Классическое отображение такого типа описывает движение частицы между двумя стенками. Если одна из стенок неподвижна, а другая колеблется (рис. 3.3, о), то задача называется моделью Ферми ускорения космических лучей и описывает поведение заряженных частиц в движущихся магнитных полях. Эта модель очень подробно обсуждается Лихтенбергом и Либерманом [ПО] в их доступно написанной монографии о стохастическом движении. Исследовано несколько систем разностных уравнений, описывающих эту модель. Одна из таких систем, в которой колеблющаяся стенка передает им- Ульс, не меняя положение частицы, имеет вид [c.80]

Здесь Ф — обезразмеренный момент времени соударения, а и — скорость после него. Как явствует из рис. 3.5, а, стационарное синусоидальное движение стола может привести к непериодическому движению шарика. Хаотическая орбита этого отображения, имеющая вид фрактального множества, показана на рис. 3.5, б. [c.82]

См. статью Холмса [75] и книгу Лихтенберга и Либермава [ПО].) Как отмечалось в гл. 3, отображение Пуанкаре для шарика прыгающего на вибрирующем столе, может быть точно записано в терминах безразмерной скорости соударения v шарика о стол и фа зы (mod 2т) движения стола [c.282]

Случай 2 О < с < 1. Этот Случай соответствует диссипативному отображению, когда энергия теряется при каждом соударении шарика и стола. Начните с К 1,2 и 0,1. Обратите внимание на то, что, хотя первые итерации выглядят хаотическими, как в случае 1, движение выходит на периодический режим. Чтобы получить фракталоподобный хаос, значения К необходимо повысить до 5,8—6,9. Странный аттрактор, еще более напоминающий фрактал, вы получите, полагая 0,3—0,4 и /Г 6,0. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...