Перекладывание отрезков

При рассмотрении перекладывания отрезков удобно использовать термин разбиение в расширенном смысле, означающий разбиение [0,1] или отрезка Д с [О, 1] на отрезки с попарно непересекающимся внутренностями. Если внутренности двух последовательных отрезков Д и Д 1 отображаются на Дд, и Д , с сохранением ориентации или на Д и Д , с обращением ориентации, то мы можем объединить Д и Д , в один отрезок и рассматривать как перекладывание меньшего числа отрезков. Таким образом, без потери общности мы можем всегда считать, что щ,.. —точки разрыва [c.473]

Определение 14.5.2. Говорят, что перекладывание отрезков / = = обладает сепаратрисой, соединяющей седла, если для некоторых г, е О,..., п и для некоторого е N мы имеем (соответ- [c.473]

Лемма 14.5.3. Число различных соединяющих отрезков для любого перекладывания отрезков не превосходит 2п — 2, где п —число интервалов непрерывности. [c.473]

Лемма 14.5.4. Любой жесткий интервал Д перекладывания отрезков I состоит из периодических точек. Любой максимальный жесткий интервал либо состоит из точек того же периода, либо период всех его точек, кроме середины, равен 2к, в то время как период середины равен к. Оба конца максимального жесткого интервала принадлежат соединяющему отрезку. [c.473]

Следствие 14.5.5. Если у перекладывания отрезков нет сепаратрисы, соединяющей седла, то это преобразование типично. [c.474]

Конструкция отображения первого возвращения играет очень важную роль в анализе перекладываний отрезков. Это происходит благодаря следующей лемме, которая показывает, что класс перекладываний отрезков замкнут относительно операции индуцирования (перехода к отображению первого возвращения) на подынтервалы, причем число интервалов при этом возрастает не более чем на два. [c.475]

Замечание. Это рассуждение по существу снова доказывает предложение 14,1.6 для случая перекладываний отрезков. [c.476]

Следствие 14.5.8. Каждая типичная точка перекладывания отрезков рекуррентна. [c.476]

Теперь мы можем доказать первый важный результат о конечности для перекладываний отрезков. [c.476]

Предложение 14.5.9. Пусть х — непериодическая рекуррентная точка перекладывания отрезков I. Тогда дополнение замыкания орбиты X состоит из конечного числа интервалов, концы которых принадлежат соединяющим отрезкам. [c.476]

Следствие 14.5.11. Для типичного перекладывания отрезков замыкание всех, кроме конечного числа, орбит представляет собой объединение и конечного числа интервалов. Орбита любой типичной точки из и плотна в U. [c.476]

Заметим, что последнее следствие говорит о том, что наша система обладает свойством, настолько близким к топологической минимальности, насколько это возможно для перекладываний отрезков. И действительно, в этом случае символическая модель П, минимальна (см. упражнение 14.5.2). [c.477]

Назовем замыкания орбит, состоящих из конечного числа интервалов (отличной от ну ля длины), транзитивными компонентами перекладывания отрезка I. Внутренности различных транзитивных компонент попарно не пересекаются. Аналогично, назовем орбиту максимального жесткого интервала периодической компонентой. Таким образом, мы получаем, что все точки, за исключением, быть может, находящихся на соединяющих отрезках, должны принадлежать либо транзитивной, либо периодической компоненте. Из леммы 14.5.4 и предложения 14.5.9 следует, что граница каждой (транзитивной или периодической) компоненты состоит из полных соединяющих отрезков. Число соединяющих отрезков не превосходит 2п — 2. Каждый соединяющий отрезок может принадлежать границе не более чем двух компонент. Таким образом, общее число компонент не превышает Ап — 4. Кроме того, в ориентируемом случае каждый соединяющий отрезок может иметь две различных ориентации и граница каждой компоненты должна содержать по крайней мере один положительно ориентированный и один отрицательно ориентированный отрезок, что уменьшает возможное число компонент до 2п — 2. Итак, топологическая структура орбит перекладываний отрезков может быть выражена следующим образом. [c.477]

Следствие 14.5.16. Для типичного перекладывания отрезков существует не более чем п непересекающихся инвариантных множеств положительной меры Лебега. [c.477]

Заметим, что различные инвариантные меры перекладывания отрезков порождают сопряжения этого перекладывания с другими. Чтобы упростить обсуждение этого вопроса, допустим, что перекладывание отрезков топологически транзитивно, что является более слабым условием, чем отсутствие сепаратрис, соединяющих седла, но более сильным, чем типичность. В этом случае каждая неатомарная инвариантная мера положительна на открытых множествах и, следовательно, отображение, сопоставляющее отрезку [О, t ] его меру, является гомеоморфизмом, переводящим данное перекладывание отрезков в другое такое перекладывание, что образ данной инвариантной меры есть мера Лебега. Таким образом, если топологически транзитивное перекладывание отрезков обладает к эргодическими инвариантными мерами, то мы получаем к — 1)-симплекс топологически сопряженных перекладываний отрезков. [c.478]

Теорема 14.5.17. Пусть I — ориентируемое перекладывание отрезков без сепаратрис, соединяющих седла. Тогда имеется такая функция s [О, 1] 0,1 с тремя точками разрыва, что [c.479]

Докажите, что энтропия любого перекладывания отрезков относительно любой инвариантной меры равна нулю. [c.481]

Рассмотрим перестановку тг = (3,2,1). Покажите, что ориентируемое перекладывание отрезков для любого вектора у может быть индуцировано некоторым поворотом окружности. Докажите, что в этом случае нз минимальности следует строгая эргодичность, и найдите необходимое и достаточное условие минимальности. [c.481]

Предложение 14.6.1. Любое преобразование/ = I о Н, определенное, как показано выше, которое сохраняет положительную на открытых интервалах меру, топологически сопряжено перекладыванию отрезков. [c.482]

Предложение 14.6.7. Для любой стороны I рационального многоугольника перекладывание отрезков /< ) не имеет сепаратрис, соединяющих седла, для всех, кроме, быть может, счетного числа, значений а р]. [c.485]

Мы видели, что отображения возвращения на трансверсали для сохраняющих меры потоков изоморфны перекладываниям отрезков. Существует конструкция, показывающая, что по крайней мере в ориентируемом случае любое перекладывание отрезков получается таким образом, т. е. для любого ориентируемого перекладывания отрезков (см. определение 14.5.1) существуют компактная ориентируемая поверхность М, гладкий сохраняющий площадь поток р с конечным числом неподвижных точек седлового типа и такая трансверсаль т, что отображение возвращения для потока р на г гладко сопряжено с Таким образом, в этом смысле данные теории эквивалентны. [c.485]

Перекладывание отрезков 472 перемешивание 161 [c.766]

Замечание. Аналогичным образом можно определить перекладывание дуг окружности. Очевидно, каждое перекладывание п дуг может рассматриваться как перекладывание п + 1 отрезков. [c.472]

В этой главе будет исследоваться класс динамических систем с непрерывным временем с очень маломерным поведением с точки зрения описания, данного в главе 10, а именно гладкие потоки на замкнутых компактных поверхностях. Мы также уделим некоторое внимание потокам на поверхностях с границей, например на замкнутом диске или цилиндре, и на открытых поверхностях, например на плоскости. Это, в частности, позволит нам обсудить ряд полулокальных проблем. Другой естественный объект, связанный с такими потоками, — отображение Пуанкаре, индуцированное на трансверсали к потоку. Если поток сохраняет неатомарную меру, положитель-щао на открытых множествах (например, площадь), то такие отображения Пуанкаре топологически сопряжены локально изометрическому отображению с конечным числом разрывов. Эти отображения наглядно описываются термином перекладывание отрезков . [c.454]

Следствие 14.5.12. Если у перекладывания отрезков отсутствует сепаратриса, соединяющая седла, то каждая типичная орбита, как и каждая полуорбита, не содержащая точку разрыва, плотна. [c.476]

Следствие 14.5.18. Перекладывание отрезков, получающееся продолжением преобразования I,, соответствующего когранице s, не имеет сепаратрис, соединяющих седла, и не эргодично. [c.479]

Пусть / [О, 1] — [0,1] — кусочно монотонное отображение, взаимно однозначное и непрерывное вне окрестностей конечного числа точек. Удобно представлять такое преобразование в виде / = I о Ь, где Ь — гомеоморфизм, а / — перекладывание отрезков. Пусть /х — неатомарная /-инвариантная борелевская вероятностная мера. Тогда отображение д [0,1]—> [О, 1], д(х) =/х([0, х]), монотонно и определяет полусопряжение / с перекладыванием отрезков, поскольку факторотображение сохраняет меру Лебега и обладает лишь конечным числом точек разрыва. Имеется очевидный, но важный случай, когда полусопряжение становится сопряжением. [c.481]

Результаты о топологической структуре преобразований перекладываний отрезков впервые появились в [154], хотя нх можно извлечь и нз более ранней работы Майера [186]. Кии также выдвинул гипотезу, что почти каждое неприводимое преобразование перекладывания отрезков является строго эргодическим. Вне элементарного уровня, на котором мы обсуждаем эту тоблему, имеется ряд фундаментальных результатов, прежде всего результаты Вича [319]- [322] и Мезера [197], которые доказывают строгую эргодичность большинства преобразований перекладывания отрезков и описывают их метрические свойства. В частности, с их помощью доказана гипотеза Кина. Главная идея состоит в рассмотрении подходящего пространства перекладываний отрезков и введении динамической системы на этом пространстве таким способом, чтобы свойства перекладывания отрезков переходили в асимптотические свойства его орбиты под действием этой динамической системы. При подходе Вича это осуществляется с помощью подходящей конструкции индуцирования. Лемма 14.5.7 представляет собой первый шаг в этом направлении. Важный вклад в анализ преобразования перекладывания отрезков, использующий более прямой комбинаторный подход, был сделан [c.732]

Бошерннцаном. Интересное общее свойство преобразований перекладываний отрезков, также основанное на лемме 14.5.7, состоит в том, что онн никогда не являются перемешивающими. [c.733]

Из соотношения между /-метрикой и -метрикой вытекает, что класс LB-автоморфнзмов содержит все В-автоморфизмы с конечной энтропией. На самом деле этот класс значительно шире. Многие автоморфизмы с нулевой энтропией, в частности, эргодические сдвиги на коммутативных компактных группах, эргодические перекладывания отрезков (см. 2 гл. 4) являются -автоморфизмами. [c.64]

При изготовлении сравнительно мелких металлических изделий (метизов) в массовом производстве применяется в основном холодная высадка на горизонтально-ковочных машинах, которые специа ьно приспособлены для этой цели. Такие машины обеспечивают автоматическую подачу заготовки, перекладывание ее из ручья в ручей штампа и отрезку изделия от прутка. Они называются холодновысадочяыми прессами или холодновысадочными автоматами. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...