Неособая траектория полутраектория

Лемма 13. а) Вокруг каждой точки неособой целой дуги траектории А, отличной от концов этой дуги., существует окрестность, через все точки которой проходят неособые целые дуги траекторий, пересекающие те же граничные дуги без контакта, что и дуга Л. б) Вокруг каждой точки неособой полутраектории Ь+, конец которой лежит на граничной дуге или цикле) без контакта, существует окрестность, через которую проходят неособые положительные полутраектории, концы которых лежат на той же дуге или цикле) без контакта, что и конец полутраектории (Такое же утверждение справедливо и для отрицательной полутраектории.) [c.296]

Теорема 45. Все предельные точки особой траектории Ьо [полутраектории Ь1), отличные от состояний равновесия, являются предельными точками также и для неособых траекторий всякой ячейки, в границу которой входит эта траектория. Ьо. [c.299]

Всюду в дальнейшем, как сказано выше, все седловые области выбраны так, что дуги траекторий, входящие в границы, являются дугами неособых траекторий. У каждой седловой дуги без контакта, входящей в, границу выбранных таким образом седловых областей, только один конец принадлежит особой траектории или полутраектории. Очевидно, этот конец является концом одной из полутраекторий (сепаратрис), входящих в границу седловой области. Однако отличные от концов точки седловых дуг без контакта могут быть точками особых полутраекторий. [c.458]

Лемма 8. Пусть Ь — неособая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия О. Вокруг каждой точки этой полутраектории существует такая окрестность, чтх> все проходящие через точки этой окрестности траектории при 1— оо стремятся к состоянию равновесия [c.291]

Рассмотрим сначала те из этих точек, которые не принадлежат особым элементам. Всякая такая точка 1) либо лежит на дуге орбитно-устойчивой траектории или полутраектории илп на неособой целой дуге траектории между двумя ее точками пересечения с дв]ут 1я сопряженными дугами 2) либо лежит на дуге орбитно-устойчивой траектории или полу- [c.478]

Особые и неособые полутраектории п траектории. Рассмотрение конкретных частных примеров динамических систем естественно приводит к мысли, что для знания топологической структуры разбиения на траектории нужно знать взаимное расположение не всех траекторий, а лишь некоторого конечного числа особых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими траекториями являлись состояния равновесия, замкнутые траектории и сепаратрисы седел. Естественно возникает вопрос о том, исчерпываются ли этими типами особые траектории и как в общем случае эти особые траектории могут быть охарактеризованы. Эти вопросы рассматриваются в настоящем параграфе. [c.50]

Точки всякой неособой траектории или полутраектории или точки неосоСой целой дуги иринадлегкат какой-нибудь яче] ке. [c.288]

Лемма 11. Вокруг каждой точки незамкнутой неособой полутраектории L+, имеющей среди своих предельных точек отличные от состояний равновесия, можно указать такую окрестность, что все проходящие через тючки этой окрестности траектории или полутраектории не замкнуты, являются неособыми траекториями или полутраекториями и имеют те же iu-пределъные точки, что и L+. [c.294]

Доказательство. Пусть М — какая-нпбудь точка полутраектории В силу леммы 7 3 существует окрестность точки М такая, что все траектории, проходящие через точки этой окрестности, не замкнуты. Далее, так как неособые траектории и полутраектории заполняют области, то существует окрестность точки М такая, что все ироходящие через нее траектории или полутраектории являются неособыми. [c.295]

Доказательство. Предположим противное, т. е. что внутри какой-нибудь ячейки, содержащей целую (неособую) траекторию Ь, существует пеособый элемент другого характера, например, неособая полутраекторияпересекающая грапичпую дугу без коптакта. Соединим какую-нибудь точку А траектории Ь и какую-нибудь точку В полутраектории простой дугой %, це.чиком лежащей внутри рассматриваемой ячейки. На дуге Я существуют точки двух типов через точки первого типа проходят целые неособые траектории, через точки второго типа целые траектории пе проходят и, следовательно, проходят неособые полутраектории, пересекающие граничную дугу без контакта (или дуги траектории, пересекающие граничную дугу). [c.300]

Пример. Геометрически очевидно, что всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узла или фокуса, орбитно-устойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитноустойчивыми, т. е. неособыми, траекториями очевидно будут траектории, стремящиеся при t - + оо и i->- — оо к узлам или фокусам или при t - + оо — оо) стремящиеся к узлу, а при t — оо ( ->-роо)—к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при i -Н оо, и при [c.52]

Введенное таким образом понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. Поясним эти понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узел или фокус, орбитноустойчива ). Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, очевидно, будут траектории, стремящиеся при >-- -со п —-оо к узлам или фокусам или при / —со ( - — оо) стремящиеся к узлу, а при — оо ( - - - схэ) — к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при - -оо, и при — со (все такие траектории орбитно-устойчивы и при при — оо). [c.414]

Очевидно, точки ячеек принадлежат а) либо целым неособым (орбитно-устойчивым) траекториям б) либо неособым (орбитно-устойчпвым) полутраекториям, коицы которых лежат па граинчно дуге без контакта [c.288]

Приведем еще одну лемму, касающуюся неособых пелых дуг, т. е. дуг траекторий, концы которых лежат на граничных дугах без контакта, причем не являются угловыми точками границы, а все отличные от концов точки принадлежат области С (см. 16, п. 1), и неособых полутраекторий, концы которых лежат на граничной дуге (или цикле) без контакта. Справедливость этой леммы непосредственно следует из леммы 5 3. [c.296]

Теорема 46. Если внутри какой-нибудь ячейки существует неособый элемент, являющийся целой траекторией (или полутраекторией, пересекающей граничную дугу без контакта, или дугой траектории, коицы которой лежат на граничных дугах или циклах без контакта), то все пеособые элементы этой ячейки также являются целыми траекториями или соответственно полутраекториями, пересекающими граничную дугу [c.299]

В силу лемм 8, 11, 12 точками первого типа заведомо являются все достаточно близкие к точке А точки дуги %, а точками второго типа — все достаточно близкие к точке В точки дуги Я. Двигаясь по дуге к от точки А к точке В, мы переходим от точек первого типа к точкам второго типа. Следовательно, на дуге к должна существовать некоторая точка С, являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго типа. Но последней точки первого типа (т. е. последней точки, через которую проходит неособая це.чая траектория) в силу лемм 8, 11 и 12 существовать не может. Следовательно, точка С является первой точкой второго типа. Через эту точку проходит неособый элемент, по являющийся целой траекторией, т. е. либо по.чутраектория, пересекающая граничную дугу без коптакта, либо дуга траектории, концы которой лежат па граничных дугах без контакта. Но в обоих этих случаях в силу леммы 13 точка С не может быть на дуге к первой точкой второго типа. Следовательно, все неособые элементы рассматриваемой ячейки являются целыми траекториями. Совершенно такое же рассуждеш1е справедливо также в случае, когда в данной ячейке существует полутраектория или дуга траектории, пересекающая граничную дугу без контакта. Теорема доказана. [c.300]

Рассмотрим часть граничной дуги без контакта с концами, принадлежащими угловым дугам или особым полутраекториям, у которой все точки кроме концов принадлежат неособым дугам или неособым полутраекториям. Будем называть такую часть граничной дуги особой со-дугой или особой а-дугой, в зависимости от того, выходят ли из области G все пересекающие ее полутраекторип или дуги траекторий при возрастании или убывании t. [c.313]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...