Канонические дуги канонической равновесия

Используя указанное выше разделение круга С на криволинейные секторы различных типов, мы построим некоторую область вокруг состояния равновесия, которую будем называть его канонической окрестностью. Граница этой окрестности является простой замкнутой кривой, состоящей из конечного чис.ла дуг траекторий и дуг без контакта, и называется канонической кривой. [c.349]

Это соответствие между элементарными областями, являющимися частями канонических окрестностей, и входящими в их границы дугами и концами этих дуг, мы будем также называть соответствием по локальной схеме этих состояний равновесия . [c.355]

Лемма 2. Всякая неособая незамкнутая траектория целиком лежащая в С ), которая не является петлей траектории, содержащейся в замкнутой канонической окрестности какого-нибудь состояния равновесия, пересекает в точности одну т-дугу или один свободный ьз-цикл и в точности одну а-дугу или свободный а-цикл. [c.460]

Выберем Г() > О настолько малым, чтобы условия 1) и 2) выполнялись, и построим каноническую замкнутую кривую Е состояния равновесия О, проходящую через точки Р ,. . ., Рп (рис. 345). При этом в качестве седловых дуг без контакта возьмем достаточно малые дуги окружности Сд. Существование кривой Е, удовлетворяющей указанным условиям, показано в 19, п. 2. [c.560]

В случае, когда дуга — со-параболическая, будем эти части дуги называть со-дугами и обозначать через а-,, а в случае, когда дуга 1, — а-параболическая, будем эти части называть а-дугами и обозначать через bj. Дуги и bj кроме концов не пересекаются, таким образом, ни с одной особой полутраекторией. В частности, дуга или bj может совпадать со всей параболической дугой Нетрудно видеть, что хотя бы один из концов дуги Я или hj принадлегкит особой полутраекторип. Дуги a , hj, а также определенные выше эллиптические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта будем называть каноническими дугами канонической кривой Е. Рассмотрим параболическую область, граница которой состоит пз дуги Я (или Ь]) двух полутраекторий, проходящих через концы дуги a (или hj) и состояния равновесия О. Всякую такую область, а также определенные выше эллиптическую и гиперболическую [c.358]

В обозначении полутраекторий и эллиптических областей. Соответствук>-щие друг другу по соответствию 0 полутраектории и эллиптические области будем называть соответствующими друг другу по схеме. При тождествен ности схем состояний равновесия, очевидно, существует также соответствие по схеме между полутраекториями Ь + и L +, L f и L -, выделенными из петель. Рассмотрим канонические окрестности Н и Н состоянии равновесия О и О, пусть Е и Е — ограничивающие пх канонические кривые. Как и в случае состояния равновесия О, особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновеспя О, не являющиеся его сепаратрисами, разделяют каноническую окрестность Н на канонические области, а каноническую кривую Е на канонические дуги <5 и ч- [c.360]

При тождественности полных схем состояний равновесия О 0 индуцируется естественное взаимно однозначное соответствие между каноническими областями канонических окрестностей Нл1 Н, каноническими дугами кривых Е и Е и концами этих дуг, именно 1) Соответствующими друг другу каноническими областями являются области, в границы которых входят соответствующие друг другу по схеме особые полутраекторип. Соответствующие друг другу области имеют одинаковый характер. [c.360]

Замечание 2. Траектория, проходящая через конец злемен-тарной со (а)-дуги, не может пересечь свободный а (о))-цикл или а (со)-дугу в точке, отличной от ее концов. Это, очевидно, следует из того, что конец элементарной дуги либо принадлежит особому элементу, либо принадлежит эллиптической дуге канонической кривой состояния равновесия. [c.461]

Прежде чем переходить к рассмотрению сопряженных ю- и а-дуг, рассмотрим наряду с со- и а-дугами со-седловые и а-седловые дуги, являющиеся дугами канонических кривых о-состояний равновесия выбранной правильной системы канонических окрестностей. Напомним, что седловая дуга, через которую трактории входят в соответствующую седловую область, называется ю-седловой дугой, а седловая дуга, через которую траектории выходят из этой области, называется а-седловой дугой. Очевидно, в то время, как элементарные со- и а-дуги ограничивают области притяжения или области отталкивания (со- и а-иараболпческие области и канонические окрестности со- и а-предельпых континуумов), в которые всякая траектория входит и уже больше не выходит, седловые дуги такие области не ограничивают. Однако но отношению к особым траекториям, отличным от состояния равновесия, онп в известном смысле играют роль, аналогичную элементарным дугам. Имеет место следующая лемма, сформулированная для со-дуг и ю-седловых дуг полностью аналогичная лемма имеет место для а-дуг и а-седловых дуг. [c.467]

Односторонняя каноническая окрестность предельного континуума. Рассмотрим отличный от состояния равновесия и-предельный континуум, причем для определенности предположим, что он является ю-предельным с положительной стороны. Пусть АГ+ — этот континуум. Проведем через какую-нибудь точку Р какой-нибудь отличной от состояния равновесия траектории входящей в состав конт1шуума АГ+, дугу без контакта I, содержащую точку Р внутри (кроме точки Р дуга без коптакта I не может иметь общих точек с континуумом К, см. лемму 2, следствие 1 3). [c.424]

Доказательство. Докажем сначала, что условие а) всегда может быть выполнено. По определенгпо нормальной гранщы входящие в нее дуги траекторий, а следовательно, и их продолн ения — угловые дуги не могут принадлежать орбитно-неустойчивым траекториям или полутраекториям, целиком лежащим в С. На границе не лежит, в частности, ни одно состояние равновесия. Множество Е, состоящее пз точек, принадлежащих граничным и угловым дугам, очевидно, является замкнутым множеством. Любое состояние равновесия 0 находится, следовательно, на ненулевом расстоянии от него, и всякая каноническая окрестность, содержащаяся в достаточно малой 11 (О,), очевидно, не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим а) все простые замкнутые кривые (С), (о), (Г), являющиеся несвободными циклами без контакта в) все параболические дуги без контакта (/), входящие в канонические кривые (а) состояган равновесия, не являющихся узлами в) все граничные дуги без контакта (X). [c.459]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...